Responde Aí

Enunciado

(a) Use seis retângulos para achar estimativas de cada tipo para a área sob o gráfico dado f de de x = 0 até x = 12 .

(i) L 6   (pontos amostrais estão nas extremidades esquerdas)

(ii) R 6 (pontos amostrais estão nas extremidades direitas)

(iii) M 6   (pontos amostrais estão nos pontos médios)

(b) L 6 é uma subestimativa ou superestimativa em relação à área verdadeira?

(c) R 6 é uma subestimativa ou superestimativa em relação à área verdadeira?

(d) Entre os números L 6 ,   R 6 , ou M 6 , qual fornece a melhor estimativa? Explique.

Passo 1

  1. (i) Primeiro encontraremos a estimativa superior, que podemos visualizar no seguinte gráfico:
  2. L 6 = ∑ i = 1 6 f ( x i - 1 ) ∆ x

    Nosso ∆ x é:

    ∆ x = b - a n = 12 - 0 6 = 2

    Logo, L 6 é:

    L 6 = f x 0 * 2 + f x 1 * 2 + f x 2 * 2 + f x 3 * 2 + f x 4 * 2 + f x 5 * 2

    L 6 = 2 f 0 + f 2 + f 4 + f 6 + f 8 + f ( 10 )

    L 6 ≈ 2 9 + 8,8 + 8,2 + 7,3 + 5,9 + 4,1 = 2 43,3 = 86,6

    Passo 2

    1. Encontraremos agora a estimativa inferior, que podemos visualizar no seguinte gráfico:
    2. R 6 = L 6 + 2 * f 12 - 2 f 0 ≈ 86,6 + 2 1 - 2 9 = 70.6

      (Somamos o retângulo mais à direita, que não é utilizando em L 10 , e subtraímos o retângulo mais à esquerda, que é utilizando em L 10 mas não em R 10 ).

      Passo 3

    3. Fazendo a estimativa com os pontos médios temos o seguinte gráfico:

    M 6 = ∑ i = 1 6 f x i * ∆ x

    M 6 = 2 f 1 + f 3 + f 5 + f 7 + f 9 + f 11

    M 6 ≈ 2 8,9 + 8,5 + 7,8 + 6,6 + 5,1 + 2,8 = 2 39,7 = 79,4

    Passo 4

  3. Como f está decrescendo, nós obtemos uma superestimativa usando os pontos extremos esquerdos, que L 6 representa.
  4. Passo 5

  5. Como f está decrescendo, nós obtemos uma subestimativa usando os pontos extremos direitos, que R 6 representa.
  6. Passo 6

  7. M 6 dá uma melhor estimativa, porque a área de cada retângulo aparenta ser mais próxima da verdadeira área que os retângulos subestimados e superestimados de R 6 e L 6 .

Resposta

  1. (i) L 6 = 86,6
  2. (ii) R 6 = 70.6

    (iii) M 6 = 79,4

  3. Superestimativa
  4. Subestimativa
  5. M 6
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