Enunciado

Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula.

a t = t 2 - 4 t + 6 ,             s 0 = 0 ,             s 1 = 20

Passo 1

Bom galera, nessa questão queremos encontrar a função que descreve a posição da partícula a partir da função de aceleração em função do tempo e dos dados de posição:

a t = t 2 - 4 t + 6 ,             s 0 = 0 ,             s 1 = 20

Vamos pensar... a aceleração é nada mais nada menos que a derivada da velocidade em relação ao tempo:

a = d v d t

E a velocidade é a derivada da posição:

v = d s d t

O enunciado pede s t . Concorda comigo que v t é a antiderivada de a t e que s ( t ) é a antiderivada de v t ?! Bora colocar a mão na massa então!

Passo 2

Primeiro vamos calcular a anderivada de a ( t ) que é v ( t ) :

a t = t 2 - 4 t + 6

Temos uma função polinomial, então:

v t = t 2 + 1 2 + 1 - 4 t 1 + 1 1 + 1 + 6 t 0 + 1 0 + 1 + C

v t = t 3 3 - 2 t 2 + 6 t + C

Derivando v ( t ) , temos:

v ' t = t 2 - 4 t + 6 = a ( t )

Dessa forma, confirmamos que a função v ( t ) é a antiderivada de a ( t ) . Agora vamos calcular a antiderivada de v t :

v t = 1 3 t 3 + 1 3 + 1 - - 2 t 2 + 1 2 + 1 + 6 t 1 + 1 1 + 1 + C t 0 + 1 0 + 1 + D

s t = t 4 12 - 2 t 3 3 + 3 t 2 + C t + D

Derivando s ( t ) , temos:

s ' t = t 3 3 - 2 t 2 + 6 t + C = v ( t )

Dessa forma confirmamos que s ( t ) é a antiderivada de v ( t ) .

Passo 3

Podemos agora encontrar o valor das constantes C e D utilizando as condições dadas:

s 0 = 0 ,             s 1 = 20

Aplicando a condição s 0 = 0 , temos

s t = t 4 12 - 2 t 3 3 + 3 t 2 + C t + D

s 0 = 0 4 12 - 2 ( 0 ) 3 3 + 3 ( 0 ) 2 + C ( 0 ) + D

D = 0

Dessa forma, D = 0 . Aplicando agora a condição s 1 = 20 , temos

s t = t 4 12 - 2 t 3 3 + 3 t 2 + C t

s 1 = 1 4 12 - 2 ( 1 ) 3 3 + 3 ( 1 ) 2 + C 1

20 = 1 12 - 2 3 + 3 + C

C = 17.58

Dessa forma, C = 17.58 .

Chegamos finalmente em s ( t ) :

s t = t 4 12 - 2 t 3 3 + 3 t 2 + 17.58 t

Resposta

s t = t 4 12 - 2 t 3 3 + 3 t 2 + 17.58 t

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

Encontre f . f ' ' ' x = cos ⁡ x , f 0 = 1 , f ' 0 = 2 ,f ' ' 0 = 3
Encontre f . f ' ' x = 20 x 3 + 12 x 2 + 4 , f 0 = 8 ,f 1 = 5
Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula. v t = 1,5 t , s 4 = 10
Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula. v t = s e nt - cos ⁡ t , s 0 = 0
Uma partícula move-se de acordo com os dados a seguir. Encontre a posição da partícula. a t = cos ⁡ t + s e nt , s 0 = 0 , v 0 = 5