Usando coordenadas polares, calcular:

i)   ∫ 0 2 ∫ 0 2 x - x 2 x d y d x

Passo 1

Temos que:

0 ≤ x ≤ 2

0 ≤ y ≤ 2 x - x 2

A representação da região de integração é dada:

Assim:

y ≤ 2 x - x 2

y 2 ≤ 2 x - x 2

x 2 + y 2 ≤ 2 x

Como:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Temos:

r 2 ≤ 2 r cos ⁡ θ

r ≤ 2 cos ⁡ θ

Desse modo, temos que:

0 ≤ r ≤ 2 cos ⁡ θ

0 ≤   θ ≤ π 2

Passo 2

As coordenadas polares se dão da seguinte forma:

x = r cos ⁡ θ ; y = r   s e n   θ ; x 2 + y 2 = r 2

Então, substituindo na equação dada, temos:

∫ 0 π 2 ∫ 0 2 cos ⁡ θ r cos ⁡ θ ⋅ r d r d θ

Passo 3

Integrando para r :

∫ 0 2 cos ⁡ θ r 2 cos ⁡ θ d r = r 3 3 cos ⁡ θ

Aplicando os limites:

8 cos 3 ⁡ θ - 0 cos ⁡ θ 3 = 8 3 cos 4 ⁡ θ    

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 π 2 8 3 cos 4 ⁡ θ   d θ = 1 12 32 cos 3 ⁡ θ ⋅ s e n   θ + 3 4 θ - s e n   4 θ

Aplicando os limites:

1 12 0 + 3 4 π 2 - 0 - s e n   2 π - s e n   0 = 1 12 6 π - 0 - 0 = π 2

Resposta

π 2

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