Calcular ∬ R x y d x d y , onde R é delimitada por x^2 / 4 + y^2 / 9 = 1 .

Passo 1

A representação gráfica se dá:

Passo 2

Para facilitar a resolução da questão, utilizaremos a seguinte transformação:

x = 2 u e y = 3 v

O jacobiano dessa transformação será igual a 6:

J = 2 0 0 3 = 6

A nova figura se dará como um círculo de raio 1 centrado na origem, já que:

  x 2 4 + y 2 9 = 1 → 2 u 2 4 + 3 v 2 9 = 1 → u 2 + v 2 = 1

Então, substituindo na equação dada, temos:

∬ 2 u ⋅ 3 v ⋅ 6 d u d v = 36 ∬ u v d u d v

Nesse caso, as coordenadas polares se dão:

u = r cos ⁡ θ ; v = r   s e n   θ ; u 2 + v 2 = r 2

Substituindo novamente. Obtemos:

36 ∬ r cos ⁡ θ ⋅ r   s e n   θ ⋅ r   d r d θ

Com

0 ≤ r ≤ 1

0 ≤ θ ≤ 2 π

Passo 3

Integrando para r :

36 ∫ 0 1 r 3 cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ d r = 9 r 4 cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ

Aplicando os limites:

1 - 0 9 cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ   = 9 cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ  

Passo 4

Integrando para θ :

∫ 0 2 π 9 cos ⁡ θ ⋅ s e n   θ d θ = 9 2 s e n 2   θ

Aplicando os limites:

s e n 2   2 π - s e n 2   0 9 2 = 0  

Resposta

0

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