Usando a definição de limite, mostre que:

e) lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 3 x 2 + y 2 = 0

Passo 1

Para resolver essa questão, precisamos mostrar que de acordo com a definição de limite:

Dado um ε > 0 existe δ > 0 tal que x y 3 x 2 + y 2 - 0 < ε sempre que 0 < x 2 + y 2 < δ .

Passo 2

Podemos reorganizar x y 3 x 2 + y 2 - 0 da seguinte forma:

x y 3 x 2 + y 2 - 0 = x y 3 x 2 + y 2 = x y y 2 x 2 + y 2

E também podemos dizer que:

y 2 ≤ x 2 + y 2

Passo 3

Com o que foi dito no passo 2, podemos fazer a seguinte relação:

x y 3 x 2 + y 2 ≤ x y x 2 + y 2 x 2 + y 2

Simplificando os termos, nós temos:

x y 3 x 2 + y 2 ≤ x y

Podemos dizer também que x ≤ x 2 + y 2 e também que y ≤ x 2 + y 2 . Assim podemos reescrever a expressão acima como:

x y 3 x 2 + y 2 ≤ x 2 + y 2 ⋅ x 2 + y 2

Como 0 < x 2 + y 2 < δ , podemos dizer que:

x y 3 x 2 + y 2 ≤ δ 2

Passo 4

Assim, se tomamos δ = ε podemos dizer que:

x y 3 x 2 + y 2 ≤ ε

Sempre que 0 < x 2 + y 2 < δ .

Com isso provamos que:

lim x → 0 y → 0 ⁡ x y 3 x 2 + y 2 = 0

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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