Enunciado

Escreva uma integral que represente o comprimento da curva. A seguir, use sua calculadora para encontrar o comprimento com precisão de quatro casas decimais.

x = t + e - t ,   y = t - e - t ,   0 ≤ t ≤ 2

Passo 1

Vamos derivar x = t + e - t :

d x d t = 1 - e - t

E agora, derivar y = t - e - t :

d y d t = 1 + e - t

Então:

d x d t 2 + d y d t 2 = 1 - e - t 2 + 1 + e - t 2 = 1 - 2 e - t + e - 2 t + 1 + 2 e - t = 2 + 2 e - 2 t

Passo 2

Então, escrevendo a integral, temos que:

L = ∫ a b d x d t 2 + d y d t 2 d t

Assim,

L = ∫ 0 2 2 + 2 e - 2 t d t ≈ 3,1416

Resposta

≈ 3,1416

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