Enunciado

A função de Bessel de ordem 1 é definida por

J 1 x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1

(a) Mostre que J 1 satisfaz a equação diferencial

x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + ( x 2 - 1 ) J 1 x = 0

Passo 1

A primeira parte dessa questão é muito parecida à anterior. O primeiro passo para solucioná-la é determinar as derivas da função de Bessel.

J 1 ' x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ( 2 n + 1 ) x 2 n n ! n + 1 ! 2 2 n + 1

J 1 ' ' x = ∑ n = 1 ∞ - 1 n ( 2 n + 1 ) ( 2 n ) x 2 n - 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1

Passo 2

Obtidas as derivadas na forma de séries, podemos substituí-las na equação diferencial dada.

x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + ( x 2 - 1 ) J 1 x

= x 2 ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1 2 n x 2 n - 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 + x ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 x 2 n n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 + ( x 2 - 1 )   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1 2 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 + ∑ n = 0 ∞ - 1 n 2 n + 1 x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 +   ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 3 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 - ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1

Passo 3

Se analisarmos bem as séries acima, notamos que elas têm similaridades. Em parte delas, algumas manipulações podem ser feitas para que os termos em comum possam ser colocados em evidência. Na terceira série acima, por exemplo, devemos trocar n por ( n - 1 ) para que o somatório da série se inicie em n = 1 , e para que o expoente de x coincida com o das outras séries. Além disso, outros artifícios algébricos serão usados para tornar essa série mais parecida com as outras, conforme quadro a seguir:

Passo 4

Além das mudanças na terceira série devemos modificar as segunda e quarta séries para que elas se iniciem em n = 1 . Para isso, basta extrair o primeiro termo ( n = 0 ) do somatório de ambas as séries. Assim, retornando à equação diferencial teremos :

x 2 J 1 ' ' x + x J 1 ' x + ( x 2 - 1 ) J 1 x

= ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1 2 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 + x 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n 2 n + 1 x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1 -   ∑ n = 1 ∞ - 1 n n n + 1 2 2 x 2 n + 1 ( n + 1 ) ! n ! 2 2 n + 1

- x 2 + ∑ n = 1 ∞ - 1 n x 2 n + 1 n ! n + 1 ! 2 2 n + 1

Resposta

∫ 0 1 J 0 x d x ≈ 0,920

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