Enunciado

Calcule a integral definida.

int_0^1 (e^z + 1)/(e^z + z) d z

Passo 1

A questão pede para calcularmos a integral definida fazendo uma mudança de variável. Lembre-se que quando mudamos a variável, podemos mudar também os limites de integração.

Note que a derivada do denominador é exatamente o termo que está no numerador. Então vamos tomar x = e^z + z , de modo que d x = (e^z + 1) d z .

Passo 2

Temos que quando z = 0 , x = e^0 + 0 = 1 . Já para z = 1 , obtemos x = e^1 + 1 = e + 1 . Assim, podemos reescrever a integral como

int_0^1 (e^z + 1)/(e^z + z) d z = int_1^(e + 1) (1)/(x) d x = [ln |x|]_1^(e + 1) = ln ( e + 1 ) - ln 1 = ln ( e + 1 )

Lembre-se que ln 1 = 0 .

Resposta

ln ( e + 1 )

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