Enunciado

Uma tabela de valores de uma função crescente f é dada. Use a tabela para encontrar uma estimativa inferior e superior para ∫ 0 25 f x d x .

Passo 1

Fala aí! tudo certinho?

Nesse problema foi dada uma tabela de valores de uma função f x como:

E nosso objetivo é estimar ∫ 0 25 f x d x usando uma estimativa inferior e superior.

Parece complicado?

Para resolver esse problema vamos plotar esses pontos no plano cartesiano e aplicar as fórmulas das somas de Riemann:

R = ∑ i = 1 n f x i ∆ x

L = ∑ i = 1 n f x i - 1 ∆ x

Onde R é estimativa superior e L a inferior.

Veja só!

Passo 2

Vamos começar dando uma olhada nos pontos dessa função:

Olha, a gente pode até não saber como, mas sabemos que esses pontos se ligam! E se notarmos bem, vemos que o passo com o qual eles estão distantes é de 5 unidades! Portanto, podemos definir:

∆ x = 5

E vamos usar isso pra estimar essa integral, beleza? Afinal, uma integral pode ser entendida como a área abaixo da curva! Por estimativa superior, essa integral deve ser algo como a soma da área desses retângulos:

Onde a gente considera “área negativa” pros retângulos abaixo do eixo x . Pra estimativa inferior, a ideia é a mesma, mas os retângulos são esses:

Mesma ideia de “área negativa” aqui também J!

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora é só calcular a área desses retângulos! Em linguagem de Cálculo, isso seria o mesmo que fazer, pra estimativa superior.

Portanto, a soma de Riemann com pontos de extremidade à esquerda pode ser usada como a estimativa inferior, e a soma de Riemann com pontos de extremidade à direita pode ser usada como a estimativa superior.

R 5 = ∑ i = 1 5 f x i ∆ x = 5 f 5 + f 10 + f 15 + f 20 + f ( 25 )

L 5 = 5 - 37 - 25 - 6 + 15 + 36 = 5 - 17

L 5 = - 85

E pra estimativa inferior:

L 5 = ∑ i = 1 5 f x i - 1 ∆ x = 5 f 0 + f 5 + f 10 + f 15 + f 20

L 5 = 5 - 42 - 37 - 25 - 6 + 15 = 5 - 95

L 5 = - 475

E tá na mão! O que achou? Responde Aí!

Resposta

Estimativa inferior: - 475

Estimativa superior: - 85

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