Enunciado

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Use a fórmula 11 para resolver o problema de valor inicial.

d y d x = 2 x 2 + 1 x , y 1 = 2

Passo 1

A fórmula para esse tipo de problema é:

y x = y 0 + ∫ x 0 x f ( t ) d t

Nesse caso, temos:

x 0 = 1

y 0 = 2

f t = 2 t 2 + 1 t

Então:

y x = 2 + ∫ 1 x 2 t 2 + 1 t d t

Passo 2

Resolvendo essa integral:

∫ 1 x 2 t 2 + 1 t d t = ∫ 1 x 2 t d t + ∫ 1 x 1 t d t = x 2 - 1 + ln ⁡ x - ln ⁡ 1 = x 2 - 1 + ln ⁡ x

Passo 3

Voltando na fórmula:

y x = 2 + ∫ 1 x 2 t 2 + 1 t d t = 2 + x 2 - 1 + ln ⁡ x

y x = x 2 + ln ⁡ x + 1

Resposta

y x = x 2 + ln ⁡ x + 1

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