Enunciado

Use a fórmula do Exercício 42 para calcular a curvatura.

x = a cos ⁡ ω t , y = b sen ⁡ ω t

Passo 1

A formula do exercício 42 é:

k = x ˙ y ¨ - y ˙ x ¨ x ˙ 2 + y ˙ 2 3 / 2

Primeiramente, vamos calcular as primeiras derivadas:

x ˙ = - a ω sen ⁡ ω t

y ˙ = b ω cos ⁡ ω t

E as segundas derivadas:

x ¨ = - a ω 2 cos ⁡ ω t

y ¨ = - b ω 2 s en ⁡ ω t

Passo 2

Substituindo na formula:

k = ( - a ω sen ⁡ ω t ) ⋅ ( - b ω 2 sen ⁡ ω t ) - ( b ω cos ⁡ ω t ) ⋅ ( - a ω 2 cos ⁡ ω t ) - a ω sen ⁡ ω t 2 + b ω cos ⁡ ω t 2 3 / 2 = | a b ω 3 sen 2 ⁡ ω t + a b ω 3 cos 2 ⁡ ω t | a 2 ω 2 sen 2 ⁡ ω t + b 2 ω 2 cos 2 ⁡ ω t 3 / 2 = | a b ω 3 | a 2 ω 2 sen 2 ⁡ ω t + b 2 ω 2 cos 2 ⁡ ω t 3 / 2

Resposta

| a b ω 3 | a 2 ω 2 sen 2 ⁡ ω t + b 2 ω 2 cos 2 ⁡ ω t 3 / 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

(a) Determine os vetores tangente e normal unitários T ( t ) e N ( t ) . (b) Utilize a Fórmula 9 para encontrar a curvatura. r t = t , 1 2 t 2 , t 2
Encontre o comprimento da curva com precisão de quatro casas decimais. (Use sua calculadora para aproximar a integral.) r t = t , e - t , t e - t , 1 ≤ t ≤ 3
Use a fórmula do Exercício 42 para calcular a curvatura. x = e t cos ⁡ t , y = e t sen ⁡ t
Trace o gráfico da curva com equações paramétricas x = cos ⁡ t , y = sen ⁡ t , z = sen ⁡ 5 t e calcule a curvatura no ponto ( 1,0 , 0 ) .
Determine as equações dos planos normais e osculador da curva de interseção dos cilindros parabólicos x = y ² ² e z = x ² ² no ponto (1, 1, 1).