Enunciado

Use um gráfico para encontrar um número δ tal que

se x - 1 < δ então 2 x x 2 + 4 - 0,4 < 0,1

Passo 1

Estamos interessados na região próxima do ponto 1 ,   0 . 4 . Podemos reescrever a desigualdade:

2 x x 2 + 4 - 0,4 < 0,1

como

0,3 < 2 x x 2 + 4 < 0,5

Assim, precisamos determinar os valores de x para os quais a curva y = 2 x x 2 + 4 está entre as restas horizontais y = 0,3 e y = 0,5 .

Passo 2

Agora, vamos plotar o gráfico das três funções próximo do ponto 1 ,   0 . 4 :

Vemos o ponto de intersecção da curva com as retas é:

0,6667 < x < 2

Vemos que esse intervalo não é simétrico em torno de 1 , a distância até a extremidade esquerda é 1 - 0,6667 = 0,3333 , e a distância até a extremidade direita é 2 - 1 = 1 .

Podemos escolher δ como o menor desses números para não sairmos do intervalo desejado, isto é δ = 0,3333 . Embora tenhamos escolhido δ = 0,3333 , qualquer valor menor positivo de δ também funcionaria.

Resposta

δ = 0,3333

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