Determine as áreas totais das regiões sombreadas

Passo 1

Precisamos determinar a área dada em cinza na figura da questão. Desta forma, se f x ≥ g ( x ) ao longo de um intervalo a , b , então a área entre as curvas f ( x ) e g ( x ) é dada por:

A = ∫ a b f x - g x   d x

Desta forma, temos que identificar em cada caso quem é f ( x ) , g ( x ) e o intervalo a , b .

Passo 2

Vamos começar por montar qual a integral que devemos calcular. A área que devemos calcular é entre a função f x = x 2 - 4 e g x = - x 2 - 2 x . Além disto, observe a mudança do comportamento das funções. Entre - 3 , x 0 , f x ≥ g ( x ) e entre o intervalo x 0 , 1 ocorre o contrário. Desta forma, a área da região em cinza é dada por:

A = ∫ - 3 x 0 x 2 - 4 - - x 2 - 2 x   d x + ∫ x 0 1 - x 2 - 2 x - x 2 - 4   d x

A = ∫ - 3 x 0 2 x 2 + 2 x - 4   d x + ∫ x 0 1 - 2 x 2 - 2 x + 4   d x

Observe que é necessário separar em uma soma de integrais devido à mudança no comportamento da imagem das funções.

Passo 3

Estamos quase prontos para resolver a integral e a nossa questão. Só temos um leve problema. Afinal, quem é esse x 0 que aparece nos limites de integração? Ele é a coordenada x do ponto de interseção entre as duas curvas. Antes dele nós tínhamos f x ≥ g ( x ) e depois dele g x ≥ f ( x ) . Portanto, basta igualar as duas funções e resolver a equação. Desta forma, temos:

x 2 - 4 = - x 2 - 2 x

2 x 2 + 2 x - 4 = 0

x 2 + x - 2 = 0

Resolvendo a equação acima, obtemos x 1 = 1 e x 2 = - 2 . Como o ponto x 0 encontra-se sobre o semieixo negativo de x , temos que x 0 = - 2 . Portanto, a área é dada por:

A = ∫ - 3 - 2 2 x 2 + 2 x - 4   d x + ∫ - 2 1 - 2 x 2 - 2 x + 4   d x

Passo 4

Vamos resolver agora nossa integral.

A = ∫ - 3 - 2 2 x 2 + 2 x - 4   d x + ∫ - 2 1 - 2 x 2 - 2 x + 4   d x

A = 2 3 x 3 + x 2 - 4 x - 3 - 2 + - 2 3 x 3 - x 2 + 4 x - 2 1

A = 2 3 ⋅ - 8 + 4 + 8 - 2 3 ⋅ - 27 + 9 + 12 + - 2 3 ⋅ 1 - 1 + 4 - 2 3 ⋅ 8 - 4 - 8

A = - 16 3 + 12 - - 54 3 + 21 + - 2 3 + 3 - 16 3 - 12

A = - 16 3 + 12 + 54 3 - 21 - 2 3 + 3 - 16 3 + 12

A = 6 + 20 3 = 38 3

Resposta

A = 38 3

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