Enunciado

Use um gráfico para estimar as coordenadas do ponto extremo esquerdo na curva x = t 4 - t 2 , y = t + ln ⁡ t . Então use o cálculo para encontrar as coordenadas exatas.

Passo 1

O problema fornece a equação paramétrica de uma curva:

x = t 4 - t 2                         e                     y = t + ln ⁡ t

O exercício pede para fazermos o esboço da curva. Usando o DESMOS (você pode usar o programa que quiser), obtive o seguinte:

Se você tiver curiosidade, o comando para traçar curva parametrizada no DESMOS é o seguinte:

Note que para t → ∞ , tanto a coordenada x como a y explodem para + ∞ , porém a coordenada x cresce mais rapidamente! No limite oposto, quando t → 0 + , x → 0 e y → - ∞ .

Passo 2

Queremos achar o ponto extremo esquerda da curva. Olhando o gráfico, dá para ver que nesse ponto a tangente é vertical. Vamos procurá-lo!

A inclinação da tangente é dada por

m = d y d t d x d t

A inclinação será vertical quando o denominador de m for 0 . Assim,

d x d t = 4 t 3 - 2 t = 0 ⇒ 2 t 2 t 2 - 1 = 0

Como t > 0 ,

t 2 = 1 2 ⇒ t = 2 2

Assim,

x = t 4 - t 2 = 1 4 - 1 2 = - 1 4

y = t + ln ⁡ t = 2 2 + ln ⁡ 2 2

Desta forma, o ponto pedido tem coordenadas

- 1 4 , 2 2 + ln ⁡ 2 2

Resposta

- 1 4 , 2 2 + ln ⁡ 2 2

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