Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação em torno do eixo y da região limitada pelas curvas dadas. Esboce a região e uma casca típica.

y = 1 x ,       y = 0 ,       x = 1 ,       x = 2

Passo 1

Para calcular usando o método das cascas cilíndricas temos que usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b 2 π x f x d x

Onde 2 π x corresponde a circunferência, f x a altura da casca e d x a espessura. Analisando a integral, precisamos achar quem é f x e quem são os limites de integração, vamos primeiro esboçar a região e uma casca para conseguir isso que falta:

Pronto, pela figura temos o que precisamos, os limites de integração são a = 1 e b = 2 , e a nossa altura é f x = 1 x .

Passo 2

Vamos agora substituir na equação e calcular:

V = ∫ a b 2 π x f x d x = ∫ 1 2 2 π x 1 x   d x = ∫ 1 2 2 π   d x

Bem, para achar o valor dessa integral vamos calcular a integral indefinida dela e depois utilizamos o Teorema Fundamental do Cálculo para aplicar os limites de integração.

Agora é fácil achar as primitivas da função, usando uma expressão da Tabela de Integrais Indefinidas:

∫ k d x = k x + C

Agora é só aplicar:

∫ 2 π   d x = 2 π x + C

Pronto, já encontramos a integral indefinida. Perceba que nem seria necessário colocar a constante de integração nesse caso, pois a gente usou a integral indefinida mais como uma ferramenta para calcular a integral. Agora é só calcular a integral definida usando o Teorema Fundamental do Cálculo:

∫ a b f x d x = F b - F a

Vamos lá:

V = ∫ 1 2 2 π   d x = 2 π x 1 2 = 2 π . 2 - 2 π . 1 = 2 π

Resposta

V = 2 π

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A região delimitada pelas curvas dadas é girada em torno do eixo especificado . Ache o volume do sólido resultante porqualquer método . y 2 - x 2 = 1 , y = 2 torno do eixo x .
Use o método das cascas cilíndricas para achar o volume gerado pela rotação da região delimitada pelas curvas em torno do eixo y .
Escreva a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cin
Escreva a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cin
Escreva a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado. Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cin