Enunciado

  1. Escreva a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo especificado.
  2. Use sua calculadora para determinar a integral com precisão de cinco casas decimais.

y = x   ,   y = 2 x 1 + x 3   , em torno do eixo x = - 1

Passo 1

Opaa! Temos as seguintes curvas:

y = x   ,   y = 2 x 1 + x 3   , em torno do eixo x = - 1

E queremos a integral para o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo dado. Bora fazer um esboço pra ficar mais claro:

Passo 2

Para calcular o volume do sólido vamos usar a seguinte fórmula:

V = ∫ a b 2 π x f x   d x  

Onde:

2 π x = c i r c u n f e r ê n c i a

f x = a l t u r a

d x = e s p e s s u r a

Temos que a altura da curva é dada pela diferença entre a amplitude delas, ou seja

x - 2 x 1 + x 3      

Já a circunferência, como não iniciamos a rotação de zero, é dada por x - - 1   .  

Fazendo a interseção entre as curvas, temos que os pontos são

x = 0   e   x = 1

Sendo assim:

∫ 0 1   2 π x + 1 x - 2 x 1 + x 3     d x

Passo 3

Agora vamos usar a calculadora para resolver a integral anterior, beleza ?

∫ 0 1   2 π x + 1 x - 2 x 1 + x 3     d x

V     ≈ 2,3616

Resposta

∫ 0 1   2 π x + 1 x - 2 x 1 + x 3     d x

V     ≈ 2,3616

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