Enunciado

Use o método das cascas cilíndricas para encontrar o volume do sólido obtido pela rotação da região delimitada pelas curvas dadas em torno do eixo x . Esboce a região e uma casca típica.

x = 4 y 2 - y ³ ,   x = 0

Passo 1

Nós temos os seguintes esboços, da região e casca típica:

Passo 2

Podemos ver que a função varia de 0 a 4 em y da seguinte forma:

4 y 2 - y 3 = 0

y 2 4 - y = 0

y = 0   o u   y = 4

Assim, temos o seguinte cálculo:

V = 2 π ∫ 0 4 [ y ( 4 y 2 - y 3 ) ] d y = 2 π ∫ 0 4 4 y 3 - y 4 d y =

2 π y 4 - 1 5 y 5 0 4 = 2 π 256 - 1024 5 = 2 π 256 5 = 512 π 5  

Resposta

V = 512 π 5   .

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Ache o volume do sólido gerado pela rotação, em torno do eixo y, da região limitada pelo gráfico de y = 4 x - 1 8 x 4 , pelo eixo x e pela reta x = 2 .
Nos exercícios de 21 a 24, a região é limitada pelas curvas x = y 2 - 2ex = 6 - y 2 gira em torno do eixo indicado. Ache o volume do sólido gerado.23.a reta x = 2
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Ache o volume do sólido gerado pela rotação da região limitada por aquela reta e pela parábola x 2 = 4 y em torno da reta y = 1 . Tome os elementos retangulares de área paralelos ao eixo de revolução.