Enunciado

Use o método do exercício 23 para resolver a equação diferencial.

y ' + y = x y 3

Passo 1

A questão pede para usarmos o método ensinado no exercício 23 para resolver a equação

y ' + y = x y 3

Essse tipo de equação é conhecido como equação de Bernoulli:

y ' + P x y = Q x   y n

Se n = 0 , obtemos uma equação linear. Neste caso, temos P x = 1 , Q x = 0 e n = 3 . Vimos no exercício 23 que uma substituição do tipo u = y 1 - n transforma a equação numa equação linear. Assim, vamos fazer a substituição

u = y 1 - 3 = y - 2 = 1 y 2

Assim, temos que

y 2 = 1 u ⇒ y = u - 1 / 2

Portanto,

y ' = - 1 2 u - 3 2 ⋅ u '

Passo 2

Substituindo y e y ' na equação diferencial:

- 1 2 u - 3 2   u ' + u - 1 2 = x   u - 3 2

Multiplicando toda a equação por u 3 / 2 :

- 1 2 u ' + u = x ⇒ u ' - 2 u = - 2 x

Essa equação é linear! O fator integrante será

I = e ∫ - 2   d x = e - 2 x

Assim, a equação fica

u '   e - 2 x - 2   e - 2 x   u = - 2 x   e - 2 x

O lado esquerdo da equação pode ser fatorado como

u '   e - 2 x - 2   e - 2 x   u = u   e - 2 x '

Assim,

d d x u   e - 2 x = - 2 x   e - 2 x

Portanto,

u   e - 2 x = - 2 ∫ x e - 2 x   d x

Passo 3

Para calcular essa integração usaremos integração por partes:

∫ u   d v = u v - ∫ v   d u

Tomando u = x e d v = e - 2 x   d x , chegamos a

d u = d x             e             v = - 1 2 e - 2 x

Assim,

∫ x   e - 2 x   d x = - x 2 e - 2 x + 1 2 ∫ e - 2 x   d x = - x 2 e - 2 x - 1 4 e - 2 x + C

Logo,

u   e - 2 x = x   e - 2 x + 1 2 e - 2 x + C

Portanto,

u = x + 1 2 + C e 2 x

Como y = 1 / u , temos que

y = 1 x + 1 2 + C e 2 x

Resposta

y = 1 x + 1 2 + C e 2 x

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