Enunciado

Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s).

f x , y , z = 2 x + 2 y + z ;                 x 2 + y 2 + z 2 = 9

Passo 1

A questão pede para acharmos os extremos da função f sujeita a restrição dada. Para isso, vamos usar o método dos multiplicadores de Lagrange!

A restrição pode ser escrita como

g x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 - 9 = 0

Assim, os candidatos a extremos do problema devem satisfazer a equação

∇ f = λ   ∇ g

Tomando os gradientes:

∇ f = ( 2 ,   2 ,   1 )

∇ g = ( 2 x ,   2 y ,   2 z )

Assim, devemos resolver a equação

2 ,   2 ,   1 = λ   2 x ,   2 y ,   2 z

Desta forma,

2 x λ = 2 2 y λ = 2 2 z λ = 1

Passo 2

Isolando x , y e z em função de λ :

x = 1 λ ,   y = 1 λ     e     z = 1 2 λ

Substituindo essas relações na restrição:

x 2 + y 2 + z 2 = 9 ⇒ 1 λ 2 + 1 λ 2 + 1 4 λ 2 = 9 ⇒ 9 4 λ 2 = 9 ⇒ λ 2 = 1 4

Assim,

λ = ± 1 2

Assim, os candidatos a extremos são:

- 2 ,   - 2 ,   - 1         e           ( 2 ,   2 ,   1 )

Passo 3

Analisando o valor da função nesses pontos:

f - 2 ,   - 2 ,   - 1 = - 4 - 4 - 1 = - 9

f 2 ,   2 ,   1 = 4 + 4 + 1 = 9

Assim, ( - 2 ,   - 2 ,   - 1 ) é mínimo e ( 2 ,   2 ,   1 ) é máximo.

Resposta

f - 2 ,   - 2 ,   - 1 = - 9     →         m í n i m o

f 2 ,   2 ,   1 = 9       →         m á x i m o

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Utilize os multiplicadores de Lagrange para dar uma solução alternativa aos exercícios da Seção 14.7 indicados.Exercício 52
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = y z + x y , x y = 1 , y 2 + z 2 = 1
Utilize os multiplicadores de Lagrange para determinar os valores máximo e mínimo da função sujeita à(s) restrição(ões) dada(s). f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ; x + y + z = 12
Determine os valores extremos de f sujeita a ambas as restrições. f x , y , z = x 2 + y 2 + z 2 ;x - y = 1 , y 2 - z 2 = 1