Enunciado

O polinômio p ( x ) = x 5 - 10 9 x 3 + 5 21 x tem seus cinco zeros reais, todos no intervalo (-1,1).

  1. Verifique que x 1 ∈ ( - 1 , - 0.75 ) ,   x 2 ∈ ( - 0.75 , - 0.25 ) ,   x 4 ∈ ( 0.3,0.8 )   e   x 5 ∈ ( 0.8,1 ) .
  2. Encontre, pelo respectivo método, usando ϵ = 1 0 - 5

x 1 :   N e w t o n   ( x 0 = - 0.8 )

x 2 : b i s s e c ç ã o ( [ a , b ] = [ - 0.75 , - 0.25 ] )

x 3 : p o s i ç ã o   f a l s a ( [ a , b ] = [ - 0.25,0.25 ] )

x 4 : M P F ( I = [ 0.2,0.6 ] , x 0 = 0.4 )

x 5 : s e c a n t e ( x 0 = 0.8 , x 1 = 1 ) .

Passo 1

letra a:

Para fazer essa verificação, a gente precisa apenas checar os sinais nas extremidades dos intervalos!

Os valores de p ( x ) nos intervalos são:

x 1 :   ( - 0.12698412698412692 ,   0.052873883928571425 )

x 2 : ( 0.052873883928571425 ,   - 0.04313926091269841 )

x 4 : ( 0.04385857142857143 ,   - 0.05073269841269845 )

x 5 : ( - 0.05073269841269845 ,   0.12698412698412692 )

Como existe troca de sinal em todos os extremos, então podemos garantir que existe pelo menos uma raiz em cada um desses intervalos.

Se pegarmos o intervalo ( - 0.25,0.3 ) e analisarmos o valor de p ( x )   neste intervalo, podemos ver que será :

x 3 : ( - 0.04313926091269841,0.04385857142857143 )

Houve troca de sinal!

Como só existem cinco raízes, e conseguimos achar 5 intervalos disjuntos que contém uma raiz, podemos garantir que a ordem das raízes dessa equação vai ser igual à ordem desses intervalos.

Passo 2

Letra b:

Primeiro temos

p ( x ) = x 5 - 10 9 x 3 + 5 21 x

Agora, precisamos achar a derivada do p ( x ) :

p ' ( x ) = 5 x 4 - 10 3 x 2 + 5 21

Agora, podemos aplicar na fórmula do Newton-Raphson, obtendo:

x k + 1 = x k - x 5 - 10 9 x 3 + 5 21 x 5 x 4 - 10 3 x 2 + 5 21

Iterando, obtemos:

x 1 _ = - 0.906179

Passo 3

Vamos agora aplicar o método da bissecção para achar o valor de x 2 .

Nesse método, pegamos o valor de x que é a média do intervalo dado e verificamos o valor da função nesse ponto, o valor x substituirá o valor do intervalo em que o f ( x )   tem o mesmo sinal.

Iterando, podemos obter:

x 2 =   - 0.538452  

Passo 4

No método da posição falsa, pegamos os valores da função avaliados nos limites do intervalo e depois disso traçamos uma reta que passa pelos dois valores.

Depois disso, pegamos o valor em que essa reta cruza o eixo das abcissas e avaliamos o sinal da função nesse ponto, substituindo o limite do intervalo anterior, de forma análoga à da questão anterior.

Iterando, podemos obter:

x 3 = 0

Passo 5

No método do ponto fixo, fixamos um ponto e achamos uma função auxiliar iteradora para analisar a função de estudo, da forma φ ( x ) = x = f ( x ) .

Com o p ( x ) , podemos achar

p ( x ) = x 5 - 10 9 x 3 + 5 21 x = 0

x = 21 5 ( 10 9 x 3 - x 5 ) = φ ( x )

Agora que temos uma função iteradora, iteramos até achar:

x 4 = 0.538452  

Passo 6

O método da secante que é similar ao de Newton, a única diferença é que a derivada é discretizada, de forma que se precisa de dois pontos para calcular o próximo!

Iterando, poderemos obter:

x 5 = 0.906179  

Resposta

  1. Como só existem cinco raízes, e conseguimos achar 5 intervalos disjuntos que contém uma raiz, podemos garantir que a ordem das raízes dessa equação vai ser igual à ordem desses intervalos.
  2. x 1 _ = - 0.906179

x 2 =   - 0.538452  

x 3 = 0

x 4 = 0.538452  

x 5 = 0.906179  

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