Enunciado

Use o método de Newton (Seção 4.7), quando necessário, para aproximar as coordenadas x das intersercções das curvas com pelo menos quatro casas decimais; em seguida, use isso para aproximar a área da região.

A região entre os gráficos de y = x 2   e y = cos ⁡ x .

Passo 1

Para encontrar a região englobada por curvas, precisamos analisar a região dada e montar a integral:

A = ∫ a b f m a i o r - f m e n o r d x

Ou

A = ∫ c d g m a i o r - g m e n o r d y

E calculá-la.

Mas para descobrir os extremos de integração, muitas vezes precisamos achar a interseção entre curvas, e é aí que entra o método de Newton. Ele diz que usando essa fórmula:

x n + 1 = x n - f x n f ' x n ,   n = 1,2 , 3 ,   …

Achamos uma aproximação para x que zera a função f ( x ) . E para achar a interseção entre duas funções g ( x ) e h ( x ) a partir desse método, fazemos:

h x = g x ∴ h x - g x = 0

E chamamos:

f x = h x - g ( x )

Aí só usar a fórmulinha. Belezinha? Vamos começar!

Passo 2

Essa é a nossa região:

Vemos que a região está limitada por cima pela função y = c o s   x e por baixo pela função y = x 2 . Vemos também que nossa região é simétrica em relação ao eixo y (os dois lados tem áreas iguais). Já que temos funções de x , podemos escrever nossa integral como:

A = 2 ∫ 0 b c o s   x - x 2 d x

O desafio é achar os extremos de integração. Vamos fazer a interseção entre as curvas:

c o s   x = x 2

A solução dessa equação, a gente vai ter que achar usando o método de Newton.

c o s   x = x 2 ∴ c o s   x - x 2 = 0 ∴ f x = c o s   x - x 2

Agora a gente usa a fórmula de Newton até aproximar o valor de x com pelo menos quatro casas decimais:

f ' x = - s e n   x - 2 x

x n + 1 = x n - c o s   x n - x n 2 - sen ⁡ x n - 2 x n

Para chutar um x 1 , precisamos dar uma olhadinha no gráfico da região. A gente vê que, na metade direita, a interseção ocorre entre x = 0 , 5 e x = 1 , vamos começar chutando x 1 = 0,5 . Fazendo isso, vemos que x 4 e x 5 já repetem as mesmas quatro casas decimais:

Logo, nosso b = 0,8241 .

Passo 3

Agora é só calcular a integral:

A ≈ 2 ∫ 0 0,8241 c o s   x - x 2 d x

A ≈ 2 sen ⁡ x - 2 x 3 3 | 0,8241 0   ≈ 1,10947

Resposta

A ≈ 1,10947

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Encontre o centroide da região delimitada pelas curvas y = x 2 - x e y = x 2 - 1
Represente graficamente a região entre as curvas e use a calculadora para encontrar a área até a quinta casa decima. y = 2 1 + x 4 y = x 2
Use um gráfico para encontrar as coordenadas aproximadas de x dos pontos de interseção das curvas dadas. Então encontre a área aproximada da região limitada pelas curvas. y = e x , y = 2 - x 2
Use um gráfico para encontrar as coordenadas aproximadas de x dos pontos de interseção das curvas dadas. Então encontre a área aproximada da região limitada pelas curvas. y = e x , y = 2 - x 2
Esboce a região limitada pelas curvas dadas. Decida quando integrar em relação a x ou a y. Desenhe um retângulo típico de aproximação e coloque sua altura e largura. Entao calcule a área da região.16.