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Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo para achar a derivada da função.

y = ∫ 1 cos ⁡ x ( t + sen ⁡ t ) d t

Passo 1

A primeira parte do Teorema Fundamental do Cálculo diz que se temos uma função f contínua em um intervalo [ a ,   b ] e tivermos uma função g (nesse caso y ) definida por:

g x = ∫ a x f t d t

No intervalo a ,   b , então a função g ( y ! ) tem derivada pro intervalo ( a ,   b ) e ela é igual a:

g ' x = f ( x )

Mas agora temos uma diferença. Ao invés de aparecer x nos limites de integração, aparece cos ⁡ x , então não conseguimos calcular a derivada diretamente pelo teorema. Temos que usar aqui a regra da cadeia: primeiro derivamos a integral em relação a cos ⁡ x e depois derivamos cos ⁡ x em relação a x :

d y d x = d y d cos ⁡ x d cos ⁡ x d x

Passo 2

Usando o Teorema, se tratarmos primeiro cos ⁡ x como a variável, derivamos assim:

d d cos ⁡ x ∫ 1 cos ⁡ x t + sen ⁡ t d t = cos ⁡ x + sen ⁡ cos ⁡ x

Repare que só substituímos o t pelo cos ⁡ x na função de dentro da integral. Agora, pra completar a regra da cadeia, multiplicamos pela derivada de cos ⁡ x em relação a x , que é - sen ⁡ x :

d d x ∫ 1 cos ⁡ x t + sen ⁡ t d t = cos ⁡ x + sen ⁡ cos ⁡ x - sen ⁡ x

Resposta

d d x ∫ 1 cos ⁡ x t + sen ⁡ t d t = - sen ⁡ x cos ⁡ x + sen ⁡ cos ⁡ x

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