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Use a Parte 2 do Teorema Fundamental do Cálculo para calcular a integral, ou explique por que ela não existe.

∫ 2 8 ( 4 x + 3 ) d x

Passo 1

A Parte 2 do Teorema fundamental do Cálculo estabelece que se temos uma função f ( x ) contínua num intervalo [ a ,   b ] , e conhecemos uma antiderivada F ( x ) da função, podemos calcular a integral no intervalo da seguinte maneira:

∫ a b f x d x = F b - F ( a )

O problema da integral então fica resumido a encontrar a antiderivada da função, e subtrair o valor dela no final do intervalo pelo valor no início. Devemos prestar atenção ao fato de que pra calcularmos a integral a função deve existir e ser contínua em todos os pontos do intervalo. Outra coisa é que o Teorema serve pra qualquer antiderivada de f (existem infinitas!), e sempre escolheremos a mais fácil (quando a constante C é zero). Vamos então usar o TFC2 pra calcular essa integral.

Passo 2

Primeiro devemos checar se a função é contínua no intervalo. Temos f x = 4 x + 3 , um polinômio, e todo polinômio é sempre contínuo. Agora queremos achar a antiderivada de 4 x + 3 . Aplicamos a regrinha pra potências de x :

f x = x n ⇒ F x = x n + 1 n + 1 + C           ( s e   n ≠ - 1 )

Então fazemos isso, aumentamos um no expoente e colocamos o valor resultante do expoente no denominador pra cada parte:

f x = 4 x + 3 ⇒ F x = 4 x 2 2 + 3 x + C = 2 x 2 + 3 x + C

Aplicando então o teorema (usando a antiderivada com C = 0 ):

∫ 2 8 ( 4 x + 3 ) d x = F 8 - F 2 = 2 ⋅ 8 2 + 3 ⋅ 8 - ( 2 ⋅ 2 2 + 3 ⋅ 2 )

= 128 + 24 - 8 + 6 = 138

Resposta

∫ 2 8 ( 4 x + 3 ) d x = 138

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