Enunciado

Use a parte 1 do Teorema fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função

y = ∫ e x 0 sin 3 ⁡ t d t  

Passo 1

Pra começar a resolução, vamos fazer algumas considerações. Seja u tal que

u = e x

Diferenciando

d u d x = e x

Pela regra da cadeia, sabemos que

d y d x = d y d u d u d x

Sabemos também, da Parte 1 do Teorema Fundamental do Cálculo que se

g x = ∫ a x f t   d t

Então

g ' x = f ( x )

Passo 2

Antes de começarmos, vamos alterar os limites de integração, basta colocar o sinal de – na frente e trocar os limites, então

y = - ∫ 0 e x sin 3 ⁡ t d t

Agora, vamos derivar a função dada

d y d x = d d x - ∫ 0 e x sin 3 ⁡ t d t

Lembra que dizemos que   u = e x ? Então, usando a regra da cadeia, podemos substituir e ficamos com

d y d x = - d d u ∫ 0 e x sin 3 ⁡ t d t d u d x

Então, pela parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo, e substituindo u a gente consegue ver que

y ' = - sin 3 ⁡ u ⋅ e x = - e x ⋅ sin 3 ⁡ e x

Resposta

y ' = - e x ⋅ sin 3 ⁡ e x

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