Enunciado

7 – 18 Use a Parte 1 do Teorema Fundamental do Calculo para encontrar a derivada da função.

17. y = ∫ x π / 4 θ tg ⁡ θ d θ

Passo 1

Antes de tudo vamos olhar para o limite de integração, ele não pode ser uma expressão como a que está la, deve ser uma variável sozinha, então vamos fazer uma substituição:

u = x

Fazendo a diferenciação:

d u d x = 1 2 x

E pela regra da cadeia a gente pode escrever:

d y d x = d y d u d u d x

Então se derivarmos a função y , vamos ter:

y ' = d d x ∫ x π / 4 θ tg ⁡ θ d θ

Usando a regra da cadeia e invertendo os limites de integração:

y ' = d d u - ∫ π / 4 x θ tg ⁡ θ d θ d u d x

Substituindo o que tínhamos encontrado:

u = x

e

d u d x = 1 2 x

Vamos ficar com a seguinte expressão:

y ' = - d d u ∫ π / 4 u θ tg ⁡ θ d θ 1 2 x

Passo 2

Agora sim, podemos usar o teorema fundamental do calculo, a Parte 1 do Teorema diz que se

g x = ∫ a x f t d t

então

g ' x = f x

A nossa função g esta em função de u :

g u = ∫ π / 4 u θ tg ⁡ θ d θ

Então, pelo teorema, a derivada seria

g ' u = u tg ⁡ u

Substituindo isso, na derivada da função encontrada no Passo 1:

y ' = - u tg ⁡ u ⋅ 1 2 x

A função y estava em função de x , então vamos substituir o u dessa expressão:

y ' = - x tg ⁡ x ⋅ 1 2 x

y ' = - tg ⁡ x 2

Pronto, ai esta a derivada.

Resposta

y ' = - tg ⁡ x 2

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