Enunciado

Use um recurso gráfico para fazer estimativas grosseiras dos intervalos nos quais f ' ( x ) > 0 e os encontre exatamente por diferenciação.

f x = x - 1 x

Passo 1

Primeiro ele pede pra gente usar recursos gráficos, então vamos atender o pedido né?

O gráfico desse cara é:

Bom, o que caracteriza a derivada da função em um ponto ser maior que zero? Se isso acontece, quer dizer que a função é crescente naquele ponto. Olhando pra esse gráfico, a gente pode perceber que a função não para de crescer em nenhum momento! Me diz um intervalo em que ela não cresca: não tem! Mas temos que olhar com mais cuidado também: perceba que no x = 0 a função não toca, é uma assíntota vertical, por causa daquele 1 x na função. Opa, se a função não toca no x = 0 e cresce em todo o resto, podemos dizer que:

A função possui f ' x > 0 para todo x ≠ 0 .

Passo 2

Como a gente consegue mostrar isso com diferenciação? Primeiro, vamos calcular a derivada dessa função:

f x = x - 1 x = x - x - 1

f ' x = 1 + x - 2 = 1 + 1 x 2

Cara, olhando para essa derivada, vemos que o único termo com x ali é o 1 x 2 , só que qualquer número elevado ao quadrado é positivo e não temos nenhum termo negativo na função também. Então, não tem como essa derivada ser negativa, nem zero, ela sempre será positiva. Porém, olhando para o mesmo termo 1 x 2 , vemos que, se x = 0 , a função “explode”, ou seja, como vimos no passo anterior, x = 0 é uma assíntota vertical nessa função. Logo, agora podemos dizer com certeza, pois calculamos de fato isso, que:

A função possui f ' x > 0 para todo x ≠ 0 .

Resposta

A função possui f ' x > 0 para todo x ≠ 0 .

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