Enunciado

1-6. Use a Regra da Cadeia para achar (d z)/(d t) ou (d w)/(d t) .

6. w = ln sqrt(x^2 + y^2 + z ²) , x = s e n t , y = cos t , z = tan t

Passo 1

Para encontrarmos (d w)/(d t) , de acordo com a seção 14.5 do Stewart, temos que utilizar a regra da cadeia no seguinte formato:

(d w)/(d t) = (del w)/(del x) (d x)/(d t) + (del w)/(del y) (d y)/(d t) + (del w)/(del z) (d z)/(d t)

Derivando, teremos:

(del w)/(del x) = ((1)/(2) (x^2 + y^2 + z^2)^(- (1)/(2)) . 2 x)/(sqrt(x^2 + y^2 + z ²)) = (x)/(x^2 + y^2 + z ²)

(d x)/(d t) = cos t

(del w)/(del y) = ((1)/(2) (x^2 + y^2 + z^2)^(- (1)/(2)) . 2 y)/(sqrt(x^2 + y^2 + z ²)) = (y)/(x^2 + y^2 + z ²)

(d y)/(d t) = - s e n t

(del w)/(del z) = ((1)/(2) (x^2 + y^2 + z^2)^(- (1)/(2)) . 2 z)/(sqrt(x^2 + y^2 + z ²)) = (z)/(x^2 + y^2 + z ²)

(d z)/(d t) = s e c^2 t

Passo 2

Agora que achamos todas as derivadas que queríamos, substituindo os resultados na regra da cadeia, obteremos:

(d w)/(d t) = (x)/(x^2 + y^2 + z ²) . cos t - (y)/(x^2 + y^2 + z^2) . s e n t + (z)/(x^2 + y^2 + z^2) . s e c^2 t

:. (d w)/(d t) = (1)/(x^2 + y^2 + z^2) (x . cos t - y . s e n t + z . s e c^2 t)

Resposta

(d w)/(d t) = (1)/(x^2 + y^2 + z^2) (x . cos t - y . s e n t + z . s e c^2 t)

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1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .3. z = s e nx . cos ⁡ y ,x = t ,y = 1 t
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .1. z = x y 3 - x 2 y ,x = t 2 + 1 ,y = t 2 - 1
1-6. Use a Regra da Cadeia para achar d z d t ou d w d t .4. z = 1 + x y ,x = tan ⁡ t ,y = a r c tan ⁡ t
7-12. Use a Regra da Cadeia para achar ∂ z ∂ s e ∂ z ∂ t .10. z = x e x y ,x = 1 + s t ,y = s 2 - t ² ²
O raio de um cone circular reto está aumentando em uma taxa de 1,8 c m s enquanto sua altura está decrescendo em uma taxa de 2,5 c m s . Em qual taxa o volume do cone está variando quando o raio é 120