Enunciado

11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,   y ) da função naquele ponto.

14. f x ,   y = 1 + y 1 + x ,   ( 1 ,   3 )

Passo 1

Então pessoal, para uma função f ( x ,   y ) ser diferenciável em um ponto dado, segundo o Teorema 8 discutido na seção 14.4 do Stewart isso só acontece se as derivadas parciais f x e f y existirem perto do ponto ( a ,   b ) e forem contínuas em ( a ,   b ) . Sendo assim, teremos que encontrar as derivadas parciais da função f no ponto dado e ver se são contínuas. Derivando, teremos:

f x = 1 + y . - 1 . 1 + x - 2 = - 1 + y 1 + x 2

f x 1 ,   3 = - 1 + 3 1 + 1 2 = - 1

f y = 1 1 + x

f y 1 ,   3 = 1 1 + 1 = 1 2

Sendo assim, podemos concluir que f x e f y são contínuas desde que x > - 1 , uma vez que o denominador não pode ser zero. Dessa forma, fica provado que f é diferenciável no ponto dado.

Passo 2

A linearização L ( x ,   y ) da função no ponto dado é cedido pela seguinte fórmula, galera:

L x ,   y = f a ,   b + f x a ,   b x - a + f y a ,   b y - b

No ponto que nos foi dado, f ( a , b ) vale:

f 1 ,   3 = 1 + 3 1 + 1 = 2

Sendo assim, nossa linearização será:

L x ,   y = 2 + - 1 x - 1 + 1 2 y - 3 = 2 - x + 1 + 1 2 y - 3 2

∴ L x ,   y = - x + 1 2 y + 3 2

Resposta

L x ,   y = - x + 1 2 y + 3 2

Ver Outros Exercícios desse livro

Exercícios de Livros Relacionados

17-18. Verifique a aproximação linear em ( 0 ,0 ) .18. y - 1 x + 1 ≈ x + y - 1
11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,y ) da função naquele ponto.12. f x ,y = x y ,( 1 ,4 )
11-16. Explique por que a função é diferenciável no ponto dado. A seguir, encontre a linearização L ( x ,y ) da função naquele ponto.15. f x ,y = 4 arctan ⁡ ( x y ) ,( 1 ,1 )
17-18. Verifique a aproximação linear em ( 0 ,0 ) .17. e x cos ⁡ x y ≈ x + 1