Enunciado

Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento de arco da curva. Compare sua resposta com o valor da integral reproduzido pela sua calculadora.

y = x e - x ,         0 ≤ x ≤ 5

Passo 1

Essa questão pede para calcularmos o comprimento da curva usando o método numérico de Simpson e comparar o resultado com o valor calculado por uma calculadora gráfica.

Vamos escrever primeiro a expressão para o comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Assim, derivando y :

y ' = e - x - x e - x = 1 - x e - x

Portanto,

1 + y ' 2 = 1 + 1 - x 2 e - 2 x

Desta forma, o comprimento da curva será

L = ∫ 0 5 1 + 1 - x 2 e - 2 x   d x

Passo 2

Calcular essa integral na mão é uma coisa bastante complicada, ainda bem que só precisamos fazer isso numericamente usando o método de Simpson. A expressão para a regra de Simpson apresentada na seção 7.7 do livro com n = 10 é

∫ a b f x   d x ≈ Δ x 3   f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x 8 + 4 f x 9 + f x 10

onde Δ x = ( b - a ) / 10 .

No nosso caso, Δ x = 5 10 = 1 2 . Assim,

L ≈ 1 6 f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 1 + 4 f 3 2 + … + 2 f 4 + 4 f 9 2 + f 10

onde f x = 1 + 1 - x 2 e - 2 x .

Fazendo essa conta em uma planilha, obtêm-se L ≈ 5,11584 .

Passo 3

Fazendo a conta exata com uma calculadora gráfica, obtive L = 5,11357 . Observe que a aproximação obtida pelo método de Simpson difere do valor real apenas na terceira casa decimal.

Resposta

L = 5,11357

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Encontrar o comprimento da curva dada. y = 1 4 x 4 + 1 8 x 2 ,1 ≤ x ≤ 2
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