Enunciado

Use a regra de Simpson com n = 10 para estimar o comprimento de arco da curva. Compare sua resposta com o valor da integral reproduzido pela sua calculadora.

y = x ln ⁡ x ,         1 ≤ x ≤ 3

Passo 1

Essa questão pede para calcularmos o comprimento da curva usando o método numérico de Simpson e comparar o resultado com o valor calculado por uma calculadora gráfica.

Vamos escrever primeiro a expressão para o comprimento de arco:

L = ∫ a b 1 + y ' 2   d x

Assim, derivando y :

y ' = ln ⁡ x + x ⋅ 1 x = 1 + ln ⁡ x

Portanto,

1 + y ' 2 = 1 + 1 + ln ⁡ x 2

Desta forma, o comprimento da curva será

L = ∫ 1 3 1 + 1 + ln ⁡ x 2   d x

Passo 2

Calcular essa integral na mão é uma coisa bastante complicada, ainda bem que só precisamos fazer isso numericamente usando o método de Simpson. A expressão para a regra de Simpson apresentada na seção 7.7 do livro com n = 10 é

∫ a b f x   d x ≈ Δ x 3   f x 0 + 4 f x 1 + 2 f x 2 + 4 f x 3 + … + 2 f x 8 + 4 f x 9 + f x 10

onde Δ x = ( b - a ) / 10 .

No nosso caso, Δ x = 2 10 = 1 5 . Assim,

L ≈ 1 15 f 0 + 4 f 1 2 + 2 f 1 + 4 f 3 2 + … + 2 f 4 + 4 f 9 2 + f 10

onde f x = 1 + 1 + ln ⁡ x 2 .

Fazendo essa conta em uma planilha, obtêm-se L ≈ 3,869618 .

Passo 3

Fazendo a conta exata com uma calculadora gráfica, obtive L = 3,86962 . Note que o erro é da ordem de 10 - 4 % .

Resposta

L = 3,86962

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18. y = e xd eP 0 0 , 1a t eP 1 2 , e 2
16. y = 1 xd eP 0 1 4 , 4a t eP 1 4 , 1 4
9. y = 1 - ln ⁡ sen ⁡ x , π 6 ≤ x≤π 4
19. y = x 2 + 2 x - 1,0 ≤ x≤ 1
15. y = x 2, 0 ≤ x≤x