Enunciado

  1. Mostre que a área das superfícies de uma zona de uma esfera que está entre dois planos paralelos é S = 2 π R h , onde R é o raio da esfera e h , a distância entre os planos. (Observe que S depende apenas da distância entre os planos e não de sua localização, desde que ambos os planos interceptem a esfera.)
  2. Mostra que a área de superfície de uma zona de um cilindro com raio R e altura h é a mesma que a área de superfície da zona de uma esfera no item (a).

Passo 1

A equação da circunferência centrada na origem do plano é dada por x 2 + y 2 = R 2 .

Vamos isolar o y nessa equação e rotacionar ao redor de eixo x com a ≤ x ≤ a + h para gerar uma esfera.

y = R 2 - x 2

A área da superfície pode ser escrita da seguinte maneira:

S = ∫ 2 π y d s

onde d s = 1 + y ' 2 . Vamos descobrir quanto vale a primeira derivada da função:

y ' = 1 2 R 2 - x 2 - 1 2 - 2 x

Calculando a integral temos:

S = ∫ a a + h 2 π y 1 + - x R 2 - x 2 2 d x

S = 2 π ∫ a a + h R 2 - x 2 1 + - x R 2 - x 2 2 d x

S = 2 π ∫ a a + h R 2 - x 2 + x 2 d x = 2 π R x a a + h

S = 2 π R a + h - a = 2 π R h

Passo 2

Para a letra (b), vamos rotacionar y = R com 0 ≤ x ≤ h ao redor do eixo x para gerar a zona de um cilindro. Assim,

y = R

A área da superfície pode ser escrita da seguinte maneira:

S = ∫ 2 π y d s

onde d s = 1 + y ' 2 . Vamos descobrir quanto vale a primeira derivada da função:

y ' = 0

Calculando a integral, temos:

S = ∫ 0 h 2 π R 1 + 0 2 d x

S = 2 π ∫ 0 h R d x = 2 π R x 0 h

S = 2 π R h

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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Use as Fórmulas (A) e (B) dos Exercícios 31 e 32.Encontre a área da superfície gerada quando as equações x = cos 2 ⁡ t , y = s e n 2 t ( 0 ≤ t ≤ π / 2 ) gira em torno do eixo y .
Seja S a área da superfície gerada quando a curva x=x ( t ) , y=y ( t )( a≤t≤b ) gira em torno do eixo x . Explique como S pode ser aproximada por S ≈ ∑ k = 1 n π y t k - 1 + y t k × x t k - x t k - 1
Seja S a área da superfície gerada quando a curva x=x ( t ) , y=y ( t )( a≤t≤b ) gira em torno do eixo y . Explique como S pode ser aproximada por S ≈ ∑ k = 1 n π x t k - 1 + x t k × x t k - x t k - 1
Encontre a área da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo x . y = 7 x , 0 ≤ x ≤ 1
Encontre a área da superfície gerada quando a curva dada gira em torno do eixo x . y = x , 1 ≤ x ≤ 4