Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva:

y = x sqrt(2 - x ²)

Passo 1

Olá, meu nobre amigo. Yuri aqui e estarei te ajudando a resolver essa atividade. Aqui iremos esboçar o gráfico da função dada a partir do roteiro dado pela seção.

Nós temos a função y = f (x) = x sqrt(2 - x ²)

Passo 2

  1. Nosso primeiro passo é calcular o domínio. Como nossa raiz não pode ser negativa, temos que:
  2. 2 - x ² >= 0

    2 >= x ²

    x ² <= 2

    x <= +- sqrt(2)

    Assim, o domínio é {x| x <= +- sqrt(2) } = [ - sqrt(2) , sqrt(2) ] .

  3. Agora precisamos achar os interceptos. Intercepto y : f (0) = 0 ; intercepto x : f (x) = 0 , então: x^2 (2 - x ²) = 0 -> x = 0 ou x = +- sqrt(2) .
  4. f (- x) = - f ( x ) , então f é uma função ímpar e é simétrica a partir da origem.
  5. Não há ass��ntotas.
  6. Encontrando os intervalos de crescimento e decrescimento:
  7. f^' (x) = x - (x)/(sqrt(2 - x^2)) + sqrt(2 - x^2)

    = (- x^2 + 2 - x^2)/(sqrt(2 - x^2))

    = (2 (1 + x) (1 - x))/(sqrt(2 - x^2))

    f ' ( x ) é negativa para - sqrt(2) < x < - 1 e 1 < x < sqrt(2) , e positiva para - 1 < x < 1 , logo, é decrescente em ( - sqrt(2) , - 1 ) e ( 1 , sqrt(2) ) e crescente em ( - 1,1 ) .

  8. Valor de mínimo local: f (- 1) = - 1 . Valor de máximo local: f (1) = 1 . Isso acontece porque ela decresce até - 1 e começa a cresce até 1 , depois decresce novamente.
  9. Achando concavidades e pontos de inflexão por meio da derivada segunda:
  10. f^(' ') (x) = (sqrt(2 - x^2) (- 4 x) - (2 - 2 x^2) - (x)/(sqrt(2 - x^2)))/([(2 - x^2)^((1)/(2))]^2)

    f^(' ') (x) = ((2 - x^2) (- 4 x) + (2 - 2 x^2) x)/((2 - x^2)^((3)/(2)))

    = (2 x^3 - 6 x)/((2 - x^2)^((3)/(2)))

    = (2 x (x^2 - 3))/((2 - x^2)^((3)/(2)))

    Desde que x^2 - 3 < 0 para x em [ - sqrt(2) , sqrt(2) ] , f^(' ') (x) > 0 para - sqrt(2) < x < 0 e f^(' ') (x) < 0 para 0 < x < sqrt(2) .

    Assim, sabemos que f é côncava para cima em ( - sqrt(2) , 0 ) e côncava para baixo em (0 , sqrt(2)) . Há um ponto de inflexão em ( 0,0 ) , que é onde a derivada troca o sinal.

    Passo 3

  11. Esboço da função:

Resposta

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