Enunciado

Use o roteiro dessa seção para esboçar a curva.

y = tan^(- 1) ((x - 1)/(x + 1))

Passo 1

A gente precisa lembrar certinho dos passos, em? Se seguir tudo bonitinho todo mundo acha a curva!!

  1. Primeiro a gente procura o domínio da função. Olhando pra ela, vemos que a base da fração não pode ser zero, x precisa ser diferente de 1 , então, D = { x | x != - 1 } .
  2. Agora procuramos intersecções. Há intersecção com o eixo y se for possível encontrar f ( 0 ) , f (0) = tan^(- 1) ( - 1 ) = - pi // 4 , então ela existe! O Intercepto de x é 1 , já que fazendo y = 0 encontramos esse valor.
  3. Testando as três possibilidades de simetria:
  4. f (- x) != f ( x )

    f (- x) != - f (x)

    f ( x + p ) != f ( x )

    Já que nenhuma das três possibilidades acontece, não há simetria.

  5. Agora tem que lembrar lá do começo como resolve limite, porque vamos procurar as assíntotas. Então bora lá. Temos que underset(x -> +- oo)(lim) tan^(- 1) ((x - 1)/(x + 1)) = underset(x -> +- oo)(lim) tan^(- 1) ((1 - 1 // x)/(1 + 1 // x)) = t a n^(- 1) 1 = (pi)/(4) , então y = (pi)/(4) é uma assíntota horizontal. Além disso, underset(x -> - 1^+)(lim) tan^(- 1) ((x - 1)/(x + 1)) = - (pi)/(2) e underset(x -> - 1^-)(lim) tan^(- 1) ((x - 1)/(x + 1)) = (pi)/(2) .
  6. Passo 2

    A gente vai entrar agora na parte das derivadas, não pode esquecer em!

  7. Primeiro vamos encontrar os intervalos em que a função cresce ou decresce calculando a derivada primeira:
  8. f^' (x) = (1)/(1 + [(x - 1) (x + 1)]^2) ((x + 1) - (x - 1))/((x + 1)^2) = (2)/((x + 1)^2 + (x - 1)^2)

    = (1)/(x^2 + 1) > 0

    Então, f está crescendo em ( - oo , - 1 ) e (- 1 , oo) .

  9. Agora é a hora de achar os pontos extremos. No caso dessa função, ela apenas cresce, então não existem pontos máximos ou mínimos.
  10. O último passo antes de montar o gráfico é achar as concavidades e pontos de inflexão, que vamos encontrar calculando a segunda derivada:

f^(' ') (x) = - (2 x)/((x^2 + 1)^2) > 0 harr x < 0

Então, f é côncava para cima em ( - oo , 1 ) e em ( - 1,0 ) , e côncava para baixo em ( 0 , oo ) . Há um ponto de inflexão em (0 , - (pi)/(4)) , que é quando a concavidade troca o sinal.

Passo 2

Esboçando o gráfico:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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