Use o roteiro desta seção para esboçar a curva.

y = e^(-x) sen x, 0 < x < pi / 2

Passo 1

Bom galera, nesse exercício iremos esboçar a curva com base no seguinte roteiro

( A ) Domínio

( B ) Intersecções com os eixos

( C ) Simetria

( D ) Assíntotas

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

( F ) Valores de máximo e mínimo locais

( G ) Concavidade e ponto de inflexão

( H ) Esboço da curva

Passo 2

( A ) Domínio

Nossa função não possui restrições em nenhum ponto, portanto seu domínio é o conjunto de números reais.

( B ) Intersecções com os eixos

No eixo y , a intersecção ocorre quando f 0 = 0 . No eixo x a intersecção ocorre quando f x = 0 , ou seja, em x = 0 .

( C ) Simetria

Não há simetria no gráfico.

( D ) Assíntotas

Não há assíntotas no gráfico.

Passo 3

( E ) Intervalos de crescimento e decrescimento

Derivando a função, temos

f ' x = e - x cos ⁡ x - e - x s e n   x = e - x ( cos ⁡ x -   s e n   x )

Quando f ' x = 0 , temos

c o s x = s e n x

Isso nos dá x = π 4 . Dessa forma, f ( x ) cresce em [ 0 , π 4   ] pois f ' x > 0 e f ( x ) decresce em [ π 4 , π 2   ] pois f ' x < 0 .

  ( F ) Valores de máximo e mínimo locais

O valor de máximo local ocorre quando x = π 4 e o valor de mínimo local ocorre em x = 0

  ( G ) Concavidade e ponto de inflexão

Tirando a segunda derivada da função, temos

f ' ' x = - 2 e - x c o s   x

Para f ' ' x > 0 , temos

- 2 cos ⁡ x > 0

Concavidade para cima quando c o s x < 0

Concavidade para baixo quando c o s x > 0 .

( H ) Esboço da curva

Podemos então esboçar graficamente a curva

Resposta

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