Enunciado

Use o roteiro desta seção para esboçar a curva:

y = (1)/(5) x^5 - (8)/(3) x^3 + 16 x

Passo 1

O primeiro passo é definir o domínio D de f , isto é, o conjunto dos valores de x para os quais f ( x ) está definida.

Assim, temos que:

D = I R

Passo 2

Agora devemos definir as intersecções com os eixos. Para o eixo y a interseção é dada por f ( 0 ) e para o eixo x fazemos y = 0 e isolamos o x .

Assim, temos que:

f (0) = (1)/(5) 0^5 - (8)/(3) 0^3 + 16 xx 0 = 0

0 = (1)/(5) x^5 - (8)/(3) x^3 + 16 x => x ((1)/(5) x^4 - (8)/(3) x^2 + 16) = 0 => x = 0

Passo 3

Devemos verificar se a função possui simetria. Temos três casos:

  1. Se f (- x) = f ( x ) para todo x em D , f é uma função par e a curva é simétrica em relação ao eixo y . Caso isso ocorra basta refletir a curva x >= 0 em torno do eixo y para obter a curva completa.
  2. Se f (- x) = - f (x) para todo x em D , f é uma função ímpar e é simétrica em relação à origem. Caso isso ocorra basta girar a curva x >= 0 em 180 g r a u s em torno da origem para obter a curva completa.
  3. Se f (x + p) = f ( x ) para todo x em D , onde p é uma constante positiva, f é uma função periódica e o menor desses números p é chamado de período. Caso isso ocorra pode-se usar a translação de um período para esboçar o gráfico inteiro.

Para esta função, tomando x = 1 :

  1. f (- 1) = f (1) => (1)/(5) (- 1)^5 - (8)/(3) (- 1)^3 + 16 (- 1) = (1)/(5) 1^5 - (8)/(3) 1^3 + 16 xx 1 => - (203)/(15) != (203)/(15)
  2. f (- 1) = - f (1) => (1)/(5) (- 1)^5 - (8)/(3) (- 1)^3 + 16 (- 1) = - ((1)/(5) 1^5 - (8)/(3) 1^3 + 16 xx 1) => (203)/(15) = (203)/(15)
  3. Não possui período.

Logo como satisfaz o caso ii, f é uma função ímpar.

Passo 4

Devemos verificar agora se a função f possui assíntotas:

  1. Assíntota horizontal:
  2. Se f (x) = L e f (x) = L , então a reta y = L é uma assíntota horizontal da curva y = f ( x ) .

    Se resultar que f (x) = oo ( o u - oo ) , então não temos uma assíntota à direita.

  3. Assíntota vertical: a reta x = a é uma assíntota vertical se pelo menos uma das seguintes afirmativas for verdadeira:

f (x) = oo f (x) = oo

f (x) = - oo f (x) = - oo

Temos:

(1)/(5) x^5 - (8)/(3) x^3 + 16 x = oo

E para este caso não temos nenhuma assíntota vertical, logo não há assíntotas.

Passo 5

O próximo passo é definir os intervalos de crescimento ou decrescimento da função. Calculamos f ' ( x ) e encontramos os intervalos nos quais f ' ( x ) é positiva ( f é crescente) e os intervalos nos quais f ' ( x ) é negativa ( f é decrescente) .

Derivando, temos:

f^' (x) = x^4 - 8 x^2 + 16 = (x^2 - 4)^2 = (x + 2)^2 (x - 2)^2 > 0 => - 2 < x < 2

Logo, f é crescente para (2 , oo) e (- oo , - 2) .

Passo 6

Calcularemos agora os pontos críticos, números c em que f ' (c) = 0 ou f^' (c) n ã o e x i s t e . Aplicando o Teste da Derivada, se f ' ( x ) muda de positiva para negativa em um número crítico c , então f ( c ) é um máximo local. Se f ' ( x ) muda de negativa para positiva em c , então f ( c ) é um mínimo local.

Temos que:

f^' (x) = 0 => x^4 - 8 x^2 + 16 = 0 => (x + 2)^2 (x - 2)^2 = 0 => x^() = +- 2

Observe que como a função é infinita, ela não possui máximo ou mínimo local, os pontos encontrados são onde a função muda a concavidade que veremos no próximo passo.

Passo 7

Calcularemos agora a concavidade da função f utilizando f ' ' ( x ) . Se f^(' ') (x) > 0 a função é côncava para cima e se f^(' ') (x) < 0 a função é côncava para baixo.

Assim temos que:

f^(' ') (x) => (x^4 - 8 x^2 + 16)^' = 4 x^3 - 16 x = 4 x (x^2 - 4) = 4 x (x + 2) (x - 2) > 0

=> - 2 < x < 0

Então f é côncava para baixo com x nos intervalos de ( - oo , - 2 ) e (0,2) e côncava para cima com x nos intervalos ( - 2,0 ) e ( 2 , oo ) , vale lembrar que f é uma função ímpar, logo possui simetria na origem.

Passo 8

Por fim, esboçando a curva obtemos:

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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