Enunciado

Use uma série de Maclaurin derivada nesta seção para obter a série de Maclaurin para a função dada .

f x = x 2 e - x

Passo 1

Bom, para resolvermos esta questão não precisamos desenvolver nenhuma série de Maclaurin em si. Basta voltarmos na seção do livro e adaptarmos as séries já desenvolvidas! Portanto, vamos dividi-la em duas etapas: determinar a série de Maclaurin para e - x e obter a representação final para nossa função

Vamos começar relembrando qual a série para a função f x = e x . Temos então a seguinte série:

f x = ∑ n = 0 ∞ x n n !

Pronto, precisamos pegar esta série acima e adaptá-la de alguma forma para o nosso problema.

Percebam que a diferença entre e x e e - x . Se fizermos x = - x na primeira equação, obteremos a segunda. Pronto, esta é a ideia do que precisamos fazer. No lugar de x na série acima, vamos substituir por - x . Portanto,

f x = ∑ n = 0 ∞ - x n n !

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ x n n !

Passo 2

Agora, vamos substituir a função e - x pela sua representação em série na função da questão. Logo,

f x = x 2 ⋅ ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ x n n !

E agora, basta multiplicarmos!

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ x n + 2 n !

Pronto! Chegamos à série de Maclaurin para a função f x = x 2 e - x .

Resposta

f x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n ⋅ x n + 2 n !

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