Enunciado

Use uma série de potência para aproximar a integral definida com seis casas decimais.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a seguinte integral:

∫ 0 0,3 x 1 + x 3 d x

Dessa forma, podemos reescrever o termo dentro da integral como:

x 1 1 - - x 3 = x ∑ n = 0 ∞ - x 3 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 1

Passo 2

Dessa forma, podemos reescrever a integral como:

∫ x 1 + x 3 d x = ∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 1 d x

E, dessa forma:

∫ ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 1 d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n + 1 3 n + 2

Passo 3

Agora, resolvendo a integral definida, temos:

I = ∫ 0 0,3 x 1 + x 3 d x = x 2 2 - x 5 5 + x 8 8 - x 11 11 + … 0 0,3 =

= 0,3 2 2 - 0,3 5 5 + 0,3 8 8 - 0,3 11 11 + …

Podemos notar que essa é uma série alternada, então, se usarmos os três primeiros termos, o erro será, no máximo de 0,3 11 / 11 ≅ 1,6.10 - 7 , o que é menor do que a precisão pedida no enunciado, sendo assim:

I = 0,3 2 2 - 0,3 5 5 + 0,3 8 8 ≅ 0,044522

Resposta

I ≅ 0,044522

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