Enunciado

Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.

Passo 1

Nesse exercício iremos analisar a integral:

∫ 0 1 sen ⁡ x 4 d x ,   ( 4   c a s a s   d e c i m a i s )

Com o auxílio da Tabela 1, temos que, para qualquer valor de x :

sen ⁡ x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 2 n + 1 2 n + 1 !

Passo 2

Dessa forma,:

sen ⁡ x 4 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 8 n + 4 2 n + 1 !

Com isso, a integral é dada por:

∫ sen ⁡ x 4 d x = C + ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 8 n + 5 2 n + 1 ! 8 n + 5

Passo 3

Sendo assim, temos:

∫ 0 1 sen ⁡ x 4 d x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n 1 2 n + 1 ! 8 n + 5

= 1 1 ! . 5 - 1 3 ! . 13 + 1 5 ! . 21 - 1 7 ! . 29 + …

Somando os três primeiros termos, temos:

1 1 ! . 5 - 1 3 ! . 13 + 1 5 ! . 21 = 0,1876

O quarto termo possui o valor de:

1 7 ! . 29 = 6,84 . 10 - 6

Sendo assim, para a precisão pedida no enunciado, esse termo já seria irrelevante, dessa forma, pelo teorema da estimativa das séries alternadas:

∫ 0 1 sen ⁡ x 4 d x = 0,1876

Resposta

∫ 0 1 sen ⁡ x 4 d x = 0,1876

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