Enunciado

Use séries para aproximar a integral definida com a precisão indicada.

∫ 0 0 , 4 1 + x 4   d x                     e r r o < 5 × 10 - 6

Passo 1

Para calcular a integral, vamos substituir 1 + x 4 por sua série binomial

1 + x 4 = 1 + x 4 1 / 2 = ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n x 4 n

Então, na nossa integral

∫ 0 0,4 1 + x 4   d x = ∫ 0 0,4 ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n x 4 n   d x

= ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n ∫ 0 0,4 x 4 n   d x = ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n x 4 n + 1 4 n + 1   0 0 , 4

Passo 2

Como com x = 0 todos os termos zeram, vamos usar somente x = 0 , 4 e só podemos fazer isso porque 0,4 < 1 , senão a série não convirgiria

∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n x 4 n + 1 4 n + 1   0 0,4 = ∑ n = 0 ∞ 1 / 2 n ( 0,4 ) 4 n + 1 4 n + 1

Para achar a estimativa correta dentro da precisão pedida, precisamos expandir a série e acharmos o primeiro termo que seja em módulo < 5 × 10 - 6

= 1 0 ! 0,4 1 1 + 1 / 2 1 ! 0,4 5 5 + ( 1 / 2 ) ( - 1 / 2 ) 2 ! 0,4 9 9 + …

= 0,4 + 0,4 5 10 - 0,4 9 72 + …

Calculando o valor do terceiro termo 0,4 9 72 ≈ 3,6 × 10 - 6 < 5 × 10 - 6 , então temos que

∫ 0 0,4 1 + x 4   d x ≈ 0,4 + 0,4 5 10

∫ 0 0,4 1 + x 4   d x ≈ 0,40102

Com e r r o < 5 × 10 - 6 .

Resposta

∫ 0 0,4 1 + x 4   d x ≈ 0,40102

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