Enunciado

Use séries para calcular o limite.

underset(x -> 0)(lim) (x - ln ( 1 + x ))/(x^2)

Passo 1

Vamos substituir o logaritmo por uma série, na tabela 1 da pág 687, temos que:

ln (1 + x) = sum_(n = 0)^(oo) (- 1)^n (x^n)/(n) = x - (x^2)/(2) + (x^3)/(3) - (x^4)/(4) + ...

Então, substituímos e fazemos:

underset(x -> 0)(lim) (x - (x - (1)/(2) x^2 + (1)/(3) x^3 - (1)/(4) x^4 + (1)/(5) x^5 + ...))/(x^2)

underset(x -> 0)(lim) (((1)/(2) x^2 - (1)/(3) x^3 + (1)/(4) x^4 - (1)/(5) x^5 + ...))/(x^2)

= (1)/(2)

Prontinho! 😉

Resposta

(1)/(2)

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