Enunciado

Use a soma dos dez primeiros termos para estimar a soma da série ∑ n = 1 ∞ 1 / n 2 . Quão boa é essa estimativa?

Passo 1

A primeira parte da equação é braçal mesmo. Temos que fazer a conta na mão (ou na calculadora) rsrsrs

∑ n = 1 ∞ 1 n 2 ≅ s 10 = 1 1 2 + 1 2 2 + … + 1 10 2 = 1.549 8

Passo 2

Para estimarmos o erro desta aproximação, basta realizarmos o seguinte cálculo:

R 10 ≤ ∫ 10 ∞ 1 x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ ∫ 10 t 1 x 2 d x = lim t → ∞ ⁡ - 1 t - - 1 10 = 1 10 = 0 . 1

Logo, o erro será no máximo 0 . 1 .

Resposta

s 10 = 1.549 8   e   R 10 ≤ 0 . 1

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