Enunciado

Utilize uma ferramenta gráfica para encontrar os pontos críticos de f com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se houver.

f x , y = x 4 + y 3 - 3 x 2 + y 2 + x - 2 y + 1

Passo 1

A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!

Nesse problema, nossa função é

f x , y = x 4 + y 3 - 3 x 2 + y 2 + x - 2 y + 1

Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:

f x = 4 x 3 - 6 x + 1

f y = 3 y 2 + 2 y - 2

Os pontos críticos são obtidos fazendo f x = f y = 0 . Assim,

4 x 3 - 6 x + 1 = 0 3 y 2 + 2 y - 2 = 0

Note que o problema pede para usarmos uma ferramente gráfica para resolver esse sistema e achar os pontos críticos. No MATHEMATICA, encontrei as seguintes soluções para o sistema:

- 1,301 ,   - 0,393 ,         - 1,301 ,   0,282 ,           0,169 ,   - 0,393 ,    

0,169 ,   0,282 ,           1,131 ,   - 0,393         e         ( 1,131 ,   0,282 )

Passo 2

Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:

f x x = 12 x 2 - 6

f y y = 6 y + 2

f x y = f y x = 0

Assim, o determinante hessiano será

D = f x x f x y f y x f y y = 12 x 2 - 6 0 0 6 y + 2

Logo,

D = 12 ( 2 x 2 - 1 ) ( 3 y + 1 )

Para x = - 1,301 ou x = 1,131 , 2 x 2 - 1 > 0 . Assim, 3 y + 1 manda no sinal de D . Para y = - 0,393 , 3 y + 1 < 0 , logo D < 0 . Assim, os pontos - 1,301 ,   - 0,393 e ( 1,131 ,   - 0,393 ) são pontos de sela. Já para y = 0,282 , 3 y + 1 > 0 ⇒ D > 0 . Nesse caso, f x x > 0 , de modo que ( - 1,301 ,   0,282 ) e ( 1,131 ,   0,282 ) são mínimos locais!

Já para x = 0,169 , 2 x 2 - 1 < 0 . Como para y = - 0,393 , 3 y + 1 < 0 , segue que D > 0 e f x x < 0 . Portatno é um máximo local. Já quando y = 0,282 , 3 y + 1 > 0 ⇒ D < 0 . Trata-se de um ponto de sela.

Passo 3

Para verificar se os mínimos locais são globais vamos plotar o gráfico da função na região que contem todos os pontos críticos:

Do gráfico, vemos que função tende a crescer e decrescer indefinidamente dependendo da direção. Assim, vemos que os extremos locais são de fato apenas locais, não globais!

Resposta

- 1,301 ,   - 0,393 ,       1,131 ,   - 0,393       e           ( 0,169 ,   0,282 )   →   p o n t o s   d e   s e l a

( - 1,301 ,   0,282 )             e           ( 1,131 ,   0,282 )     →         m í n i m o s   l o c a i s

0,169 ,   - 0,393   →           m á x i m o   l o c a l

f 0 ,   - 1,273 = - 3,89       →       m í n i m o   g l o b a l

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