Enunciado
Cálculo - Cálculo Volume 2 - 8ª Edição - James Stewart- Ed: 8º - Capítulo 14.7 - Ex. 29
Utilize uma ferramenta gráfica para encontrar os pontos críticos de com precisão de três casas decimais. Em seguida, classifique o ponto crítico e determine o valor mais alto e o mais baixo do gráfico, se houver.
Passo 1
A questão pede para acharmos os máximos e mínimos locais da função dada. Para isso, vamos encontrar primeiro os pontos críticos e depois fazer o teste da segunda derivada!
Nesse problema, nossa função é
Tomando as derivadas parciais de primeira ordem:
Os pontos críticos são obtidos fazendo . Assim,
Note que o problema pede para usarmos uma ferramente gráfica para resolver esse sistema e achar os pontos críticos. No MATHEMATICA, encontrei as seguintes soluções para o sistema:
Passo 2
Para o teste da segunda derivada, tomamos as segundas derivadas:
Assim, o determinante hessiano será
Logo,
Para ou , . Assim, manda no sinal de . Para , , logo . Assim, os pontos e são pontos de sela. Já para , . Nesse caso, , de modo que e são mínimos locais!
Já para , . Como para , , segue que e . Portatno é um máximo local. Já quando , . Trata-se de um ponto de sela.
Passo 3
Para verificar se os mínimos locais são globais vamos plotar o gráfico da função na região que contem todos os pontos críticos:
Do gráfico, vemos que função tende a crescer e decrescer indefinidamente dependendo da direção. Assim, vemos que os extremos locais são de fato apenas locais, não globais!