Enunciado

Faça o gráfico da elipse 4 x 2 + 2 y 2 = 1 por meio dos gráficos das funções que são a metade superior e inferior da elipse.

Passo 1

A questão pede para fazermos o gráfico da elipse 4 x 2 + 2 y 2 = 1 obtendo duas funções que representam as metades inferior e superior da elipse.

Você deve estar se perguntando, por que vamos obter duas funções para representar a elipse...

O que ocorre é que quando isolarmos o y na equação 4 x 2 + 2 y 2 = 1 , vamos obter o seguinte:

2 y 2 = 1 - 4 x 2

y 2 = 1 - 4 x 2 2

E agora é só tirar a raíz dos dois lados, certo?

Errado!

Além de tirar a raíz, você tem que considerar que y pode ser negativo ou positivo, ou seja:

y = ± 1 - 4 x 2 2

Daí, você pode agora obter uma equação que representa a parte superior (usando o sinal positivo) e outra que representa a parte inferior (usando o sinal negativo).

Passo 2

Dessa forma, temos para a parte superior da elipse que:

y + = 1 - 4 x 2 2

E para a parte inferior que:

y - = - 1 - 4 x 2 2

Por fim, basta desenhar a sua elipse. Para isso, vamos encontrar alguns pontos de interesse.

Passo 3

Aqui é interessante, você saber os pontos em que sua função irá cortar o eixo x e o eixo y .

Usando

y + = 1 - 4 x 2 2 = 0

Precisamos que:

1 - 4 x 2 = 0

Portanto,

x = 1 4 = 1 2

Portanto, ela corta o eixo x em x = 1 / 2 .

Fazendo o mesmo para a parte negativa, você vai encontrar que ela corta o eixo x em x = - 1 / 2 .

Passo 4

Agora, vamos encontrar onde ela corta o eixo y , para isso vamos fazer que x = 0 .

y + = 1 - 4 0 2 2 = 1 2

E na parte inferior você vai encontrar que:

y - = - 1 - 4 0 2 2 = - 1 2

Ou seja, nossa elipse corta o eixo x em x = 1 / 2 e x = - 1 / 2 e corta o eixo y em y = 1 2 e y = - 1 2

Desenhando o gráfico dessa elipse obtemos:

Resposta

Esboço de gráficos.

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