Enunciado

Cálculo - Cálculo Volume 1 - 5ª Edição - James Stewart - Capítulo 7.8 - Ex. 52

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desse livro

Use o Teorema da Comparação para determinar se a integral é convergente ou divergente:

∫ 1 ∞   x 1 + x 6 d x

Passo 1

Vamos tentar provar que essa integral converge. Mas antes dê uma olhada nessa relação:

x 1 + x 6 ≤ x x 6

Quando diminuímos o valor do denominador, a nossa fração sempre vai resultar em um número maior, certo?

Bom, pelo Teorema da Comparação, podemos usar a função da direita para provar que a da esquerda (que é sempre menor ou igual) converge.

Se a função maior converge, então a menor também converge.

Passo 2

Nosso problema agora então é provar a convergência dessa intergal aqui:

I = ∫ 1 ∞   x x 6 d x = ∫ 1 ∞   1 x 2 d x

A integral indefinida é - 2 / x 3 , mas precisamos colocar os limites de integração:

I = lim x → ∞ ⁡ - 2 x 3 - - 2 1 3

I = 0 + 2 = 2

E como essa integral converge, pelo Teorema da Comparação, sabemos que a primeira também converge.

Resposta

A integral converge.

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