Enunciado

Use o Teorema do Confronto para mostrar que

lim x → 0 ⁡ ( x 2 cos ⁡ 20 π x = 0

Ilustre, fazendo os gráficos das funções f x = - x ² , g x = x ² cos ⁡ 20 π x e h x = x ² na mesma tela.

Passo 1

Eaee, belezinha?? Bom... queremos demonstrar o seguinte limite utilizando o Teorema do Confronto:

lim x → 0 ⁡ ( x 2 cos ⁡ 20 π x = 0

Bom... o teorema do confronto diz que:

Sejam f x ,   g x e   h ( x ) , funções reais definidas no dominio D   ∈ R e seja a um ponto dentro desse dominio, se:

g x ≤ f x ≤ h ( x )

E

lim x → a ⁡ g x = lim x → a ⁡ h x = L

Então

lim x → a ⁡ f x = L

No nosso caso vamos usar que a função cosseno está entre - 1 e 1

- 1 ≤ cos ⁡ 20 π x ≤ 1

Assim multiplicando tudo por x 2 conseguiremos calcular o limite da nossa função, afinal sabemos os seguintes limites:

lim x → 0 ⁡ - x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

Agora vamos aplicar!!

Passo 2

Vamos lá, temos a função cosseno na nossa expressão, podemos começar dizendo que a função cosseno se limita entre os valores - 1,1 , assim:

- 1 ≤ cos ⁡ 20 π x ≤ 1

Agora vamos multiplicar tudo por x ² , deixando a função igual a do limite:

- x 2 ≤ x ² cos ⁡ 20 π x ≤ x ²

Agora nós temos uma das condição do Teorema do Confronto:

- x 2 ≤ x ² cos ⁡ 20 π x ≤ x 2 ⇒ f ( x ) ≤ g ( x ) ≤ h ( x )

Vamos agora testar a próxima condição, se:

lim x → 0 ⁡ - x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2

Passo 3

Vemos que

lim x → 0 ⁡ - x 2 = - 0 2 = 0

e que

lim x → 0 ⁡ x 2 = 0 2 = 0

Assim,

lim x → 0 ⁡ - x 2 = lim x → 0 ⁡ x 2 = 0

Então, pelo Teorema do Confronto podemos concluir que:

lim x → 0 ⁡ ( x 2 cos ⁡ 20 π x = 0

E aqui temos o plot dos gráficos:

Onde temos a função x 2 em vermelho em cima, a função - x 2 em azul embaixo e a função de interesse x 2 cos ⁡ 20 π x no meio. Vemos então o teorema do confronto acontecendo e que quando x tende a zero, a função de cima e a de baixo tendem a zero. Portanto, a função do meio que é a que queremos calcular o limite também tende a zero.

Resposta

Demonstração

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