Enunciado

Verifique se as hipóteses do Teorema do Valor Médio estão satisfeitas nos intervalos e encontre todos os valores de c nesses intervalos que satisfazem a conclusão do teorema.

f x = x 3 + x - 4 ; - 1 , 2

Passo 1

As hipóteses do teorema são que a função deve ser contínua no intervalo fechado e diferenciável no intervalo aberto. Vamos ver o gráfico dessa função no intervalo dado:

Como não existem “partes quebradas” na função, ou seja, ao desenhar essa função, não precisamos tirar o “lápis do papel”, podemos dizer que ela é contínua (e fica aí essa dica). Além disso, no intervalo aberto - 1 , 2 não existem “bicos”, logo não há pontos em que a função não seja diferenciável. Se pegarmos a derivada da função: f ' x = 3 x 2 + 1 , vemos que ela está definida para todos os valores de x dentro dos reais.

Com isso, nossas hipóteses estão satisfeitas.

Passo 2

Segundo o Teorema do Valor Médio, as hipóteses sendo verdadeiras, se temos que o valor da função nos extremos do intervalo são iguais, existe ao menos um ponto no meio c em que f ' c = f b - f a b - a , ou seja, queremos que a reta tangente à função nesse ponto c seja paralela à reta que passa entre os pontos a e b . Portanto, a derivada da função no ponto c deve ser igual à da reta que passa por a e b .

Como a = - 1 , f - 1 = - 6 , b = 2 e f 2 = 6 . Vamos achar a reta que passe pelos pontos ( - 1 , - 6 ) e ( 2 , 6 ) . A equação da reta será:

y = a x + b

Substituindo os pontos:

- 6 = - a + b

E

6 = 2 a + b

Resolvendo o sistema, achamos que:

a = 4

E

b = - 2

Logo, nossa reta será:

y = 4 x - 2

Passo 3

Agora, queremos que as derivadas da função e da reta sejam iguais, ou seja:

3 x 2 + 1 = 4

3 x 2 = 3

x = ± 1

Pronto, esses pontos estão no intervalo dado e a derivada neles é igual à derivada da reta que passa pelos pontos no extremo, então esses são os nossos caras!

c = ± 1

Resposta

c = ± 1

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Sejaf x = 1 - x 2 3 . Mostre que f - 1 = f ( 1 ) , mas não existe um número c em ( - 1 ,1 ) tal que f ' c = 0 . Por que isso não contradiz o Teorema de Rolle?
Use o gráfico de f dado no Exercício 7 para estimar os valores de c que satisfaçam à conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [ 1 ,7 ] .
Verifique que a função satisfaz as três hipóteses do Teorema de Rolle no intervalo dado. Então, encontre todos os números c que satisfazem à conclusão do Teorema de Rolle. f x = cos ⁡ 2 x ,π 8 , 7 π 8
Use o gráfico de f para estimar os valores de c que satisfaçam a conclusão do Teorema do Valor Médio para o intervalo [0,8].
Seja f x = x - 3 - 2 . Mostre que não existe um valor de c em ( 1,4 ) tal que f 4 - f 1 = f ' ( c ) ( 4 - 1 ) . Por que isso não contradiz o Teorema do Valor Médio?