Enunciado

  1. Seja
  2. f x = x 2                           x ≤ 0 x 2 + 1 ,         x > 0

    Mostre que

    lim x → 0 - ⁡ f ' x = l i m x → 0 + f ' x

    Mas que f ' 0 não existe.

  3. Seja

f x = x 2                           x ≤ 0 x 3 ,                         x > 0

Mostre que

lim x → 0 - ⁡ f ' x = l i m x → 0 + f ' x

Mas que f ' 0 existe, mas f ' ' 0 não.

Passo 1

(a)

Se

f x = x 2                           x ≤ 0 x 2 + 1 ,         x > 0

Quando aplicamos o valor na função da esquerda:

f x = x 2

f 0 = 0

Quando aplicamos o valor da função da direita:

f x = x 2 + 1

f 0 = 1

Podemos mostrar que:

lim x → 0 - ⁡ f x = 0   e l i m x → 0 + f 0 = 1

Consequentemente, f não é contínuo em x = 0 e portanto, não é diferenciável em x = 0 .

Agora, derivando as funções, primeiro na função a esquerda:

f x = x 2

f ' x = 2 x

f ' ( 0 ) = 2.0 = 0

Agora, diferenciando a função a direita:

f x = x 2 + 1

f ' x = 2 x

f ' ( 0 ) = 2.0 = 0

Aplicando no limite, temos:

lim x → 0 - ⁡ f ' 0 = 0   ; l i m x → 0 + f ' 0 = 0

Assim, temos que”:

lim x → 0 - ⁡ f ' x = l i m x → 0 + f ' x

Passo 2

  1. Se:

f x = x 2                           x ≤ 0 x 3 ,                         x > 0

Mostraremos que

lim x → 0 - ⁡ f ' x = l i m x → 0 + f ' x

Mas que f ' 0 existe, mas f ' ' 0 não.

Quando aplicamos o valor na função da esquerda:

f x = x 2

f 0 = 0

Quando aplicamos o valor da função da direita:

f x = x 3

f 0 = 0

Assim, aplicando nos limites:

lim x → 0 - ⁡ f x = 0   e l i m x → 0 + f 0 = 0

Sendo assim f é contínua em x = 0 .

Agora, derivando as funções, primeiro na função a esquerda:

f x = x 2

f ' x = 2 x

f ' ( 0 ) = 2.0 = 0

Agora, diferenciando a função a direita:

f x = x 3

f ' x = 3 x 2

f ' ( 0 ) = 3.0 2 = 0

Aplicando no limite, temos:

lim x → 0 - ⁡ f ' x = l i m x → 0 + f ' x

E por último, tiramos a segunda derivada das funções :

Agora, derivando as funções, primeiro na função a esquerda:

f ' x = 2 x

f ' ' ( x ) = 2

f ' ' ( 0 ) = 2

Agora, diferenciando a função a direita:

f ' x = 3 x 2

f ' ' x = 6 x

f ' ' 0 = 6.0 = 0

Então :

lim x → 0 - ⁡ f ' ' 0 = 2   e l i m x → 0 + f ' ' 0 = 0

Assim , f ' ' não existe.

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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