Use o Teorema do Valor Médio para provar que :

x / (1 + x^2) < arc tg(x) < x se x > 0

Passo 1

Vamos começar aplicando o Teorema do Valor Médio. Onde f x = t g - 1 x .

Existe um ponto c   ∈ ( 0 ,   x ) de tal que:

f ' c = t g - 1 x - t g - 1 0 x - 0 = t g - 1 x x

O exercício nos fornece que x > 0 é real e positivo.

Agora, devemos derivar a nossa função, que pela derivação de funções trigonométricas inversas pode ser dada por:

f x = t g - 1 x

f ' x = 1 1 + x 2

Queremos calcular tudo em função de c :

f ' c = 1 1 + c 2

Dessa forma:

f '   ( x ) = f ' c

Igualando os termos:

t g - 1 x x = 1 1 + c 2

Vamos aplicar essa fórmula nos intervalos propostos.

Passo 2

Primeiro, o exercício pede que provemos que :

x 1 + x 2 < a r c   t g x < x          

Vamos analisar então o intervalo onde c < x , e esse conjunto como parte x :

t g - 1 x x = 1 1 + c 2

Substituindo por x:

1 1 + x 2 < 1 1 + c 2 = t g - 1 x x

1 1 + x 2 < t g - 1 x x

Dessa forma:

x 1 + x 2 < t g - 1 x

Passo 3

Agora, vamos provar que 0 < c , se:

t g - 1 x x = 1 1 + c 2

Colocando na inequação :

1 1 + x 2 > t g - 1 x x = 1 1 + c 2

1 1 + 0 2 > 1 1 + c 2

1 > 1 1 + c 2 = t g - 1 x x

x > t g - 1 x

Dessa forma, concluímos que :

x > t g - 1 x

x 1 + x 2 < t g - 1 x

Assim, provamos que:

x 1 + x 2 < t g - 1 x < x

Resposta

x 1 + x 2 < t g - 1 x < x

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