Enunciado

Use o Teorema do Valor Médio para provar que :

(x)/(1 + x^2) < a r c t g (x) < x s e x > 0

Passo 1

Vamos começar aplicando o Teorema do Valor Médio. Onde f (x) = t g^(- 1) (x) .

Existe um ponto c in ( 0 , x ) de tal que:

f^' (c) = (t g^(- 1) (x) - t g^(- 1) (0))/(x - 0) = (t g^(- 1) (x))/(x)

O exercício nos fornece que x > 0 é real e positivo.

Agora, devemos derivar a nossa função, que pela derivação de funções trigonométricas inversas pode ser dada por:

f (x) = t g^(- 1) (x)

f ' (x) = (1)/(1 + x^2)

Queremos calcular tudo em função de c :

f ' (c) = (1)/(1 + c^2)

Dessa forma:

f^' ( x ) = f ' (c)

Igualando os termos:

(t g^(- 1) (x))/(x) = (1)/(1 + c^2)

Vamos aplicar essa fórmula nos intervalos propostos.

Passo 2

Primeiro, o exercício pede que provemos que :

(x)/(1 + x^2) < a r c t g (x) < x

Vamos analisar então o intervalo onde c < x , e esse conjunto como parte x :

(t g^(- 1) (x))/(x) = (1)/(1 + c^2)

Substituindo por x:

(1)/(1 + x^2) < (1)/(1 + c^2) = (t g^(- 1) (x))/(x)

(1)/(1 + x^2) < (t g^(- 1) (x))/(x)

Dessa forma:

(x)/(1 + x^2) < t g^(- 1) (x)

Passo 3

Agora, vamos provar que 0 < c , se:

(t g^(- 1) (x))/(x) = (1)/(1 + c^2)

Colocando na inequação :

(1)/(1 + x^2) > (t g^(- 1) (x))/(x) = (1)/(1 + c^2)

(1)/(1 + 0^2) > (1)/(1 + c^2)

1 > (1)/(1 + c^2) = (t g^(- 1) (x))/(x)

x > t g^(- 1) (x)

Dessa forma, concluímos que :

x > t g^(- 1) (x)

(x)/(1 + x^2) < t g^(- 1) (x)

Assim, provamos que:

(x)/(1 + x^2) < t g^(- 1) (x) < x

Resposta

(x)/(1 + x^2) < t g^(- 1) (x) < x

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