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Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = c o s z + x y 2 i → + x e - z j → + ( s e n y + x 2 z ) k → , S   é a superfície do sólido limitado pelo paraboloide z = x 2 + y 2 e pelo plano z = 4

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x c o s z + x y 2 + ∂ ∂ y x e - z + ∂ ∂ z s e n y + x 2 z = x 2 + y 2

Passo 2

A região de integração é um paraboloide e um plano. Em coordenadas cilíndricas temos x = r c o s θ ; y = r s e n θ   e   z = z . No plano x y temos um círculo de raio 2 . Assim os limites das variáveis são:

r 2 ≤ z ≤ 4 0 ≤ r ≤ 2 0 ≤ θ ≤ 2 π

E o diferencial de volume vai ser d V = r d z d r d θ

O divergente do campo na nova parametrização é ∇ ⋅ F → = r 2

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 ( r 2 ) r d z d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ∫ r 2 4 r 3 d z d r d θ    

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 r 3 z r 2 4 d r d θ = ∫ 0 2 π ∫ 0 2 ( 4 r 3 - r 5 ) d r d θ =   ∫ 0 2 π r 4 - r 6 6 0 2 d θ

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2 4 - 2 6 6 θ 0 2 π = 2 4 - 2 6 6 2 π = 2 4 1 - 2 2 6 2 π

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 2 5 π 6 - 4 6 = 2 5 π 2 6 = 2 5 π 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 32 π 3

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 32 π 3

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