Enunciado

Use o Teorema do Divergente para calcular a integral de superfície ∬ c F → ⋅ d S → ; ou seja, calcule o fluxo de F → através de S .

F → x , y , z = x 2 y i → + x y 2 j → + 2 x y z k → , S   é a superfície do tetraedro limitado pelos planos x = 0 ,   y = 0 ,   z = 0   e   x + 2 y + z = 2 .

Passo 1

Oi galera, tudo bem? Vamos calcular o divergente do campo F → :

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x F x + ∂ ∂ y F y + ∂ ∂ z ( F z )

∇ ⋅ F → = ∂ ∂ x x 2 y + ∂ ∂ y x y 2 + ∂ ∂ z 2 x y z = 2 x y ( 2 + z )

Passo 2

A região de integração é um tetraedro. Assim os limites das variáveis são:

0 ≤ x ≤ 2 - 2 y 0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ z ≤ 2 - x - 2 y

E o diferencial de volume vai ser d V = d z d x d y

Agora é só colocar na integral!

Passo 3

∭ E ∇ ⋅ F → d V = ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y ∫ 0 2 - x - 2 y 2 x y 2 + z d z d x d y =

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y 2 x y 2 z + z 2 2 0 2 - x - 2 y d x d y =

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y 2 x y 4 - 2 x - 4 y + 2 - x - 2 y 2 2 d x d y =

= ∫ 0 1 ∫ 0 2 - 2 y x 3 y + 4 x 2 y 2 - 8 x 2 y + 4 x y 3 - 16 x y 2 + 12 x y   d x d y =

= ∫ 0 1 8 y 5 - 48 y 4 + 96 y 3 - 80 y 2 + 4 y 2 - 2 y + 2 3 3 + y - 2 y + 2 4 4 + 24 y - 8 y - 2 y + 2 3 3   d y = 14 45

Logo, depois de toda essa conta:

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 14 45

Resposta

∭ E ∇ ⋅ F → d V = 14 45

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